Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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qualcuno mi può schiarire le idee sui prodotti scalari???
avendo un prodotto scalare una volta determinata la matrice associata cosa devo fare per vedere se è definito o indefinito?
tipo ho $<x,y> =x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2+x_3y_3$
la matrice associata è
$((1,-1,0),(-1,0,1),(0,1,4))$
$<x,x> =x_1^2-2x_1x_2+2x_2x_3+4x_3^2$
$<y,y> =y_1^2-2y_1y_2+2y_2y_3+4y_3^2$
adesso come devo procedere???
Ho un problema con questo esercizio:
Sia $u=e_1-e_2+e_3$ $in RR^3$
Data l'applicazione lineare $T: RR^3rarrRR^3 $data da $T(x)=xwedgeu$,devo determinare $KerT $ e $ImT$ dando per entrambi eq.parametriche e cartesiane e infine trovare la matrice associata a $T$ rispetto ad una base di $RR^3$ a scelta.
Come inizio?non capisco come rappresentare $T(x)=xwedgeu$
Forse così?
$((e_1,x_1,e_1),(e_2,x_2,-e_2),(e_3,x_3,e_3))$
Ma poi?
"Sia $E$ un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ definito così:
$\bigcap_(n\in\mathbb{N}) E_n$ con $E_n : = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| <= 2 - 1/n, x^2 + y^2 <= 4}$.
$E$ è un compatto non vuoto?"
Ho qualche perplessita sulla prima condizione, quella con il modulo di x. Mi spiego: lo spazio dentro cui sono ospitati tutti gli $E_n$ mi sembra sia il cerchio centrato nell'origine, di raggio 2.
Per $n=1$ la prima condizione impone che si possano prendere tutti i valori NELLA porzione di cerchio ...
qualcuno saprebbe correggere/spiegare/fare i seguenti esercizi perchè non riesco proprio a uscirne?
si consideri la base ortonormale B di E3 costituito dai vettori:
v1 = ( 1,1,0); v2 = ( 1,-1,0) v3= (0,0,1)
l'endomorfismo Y : E3------> E3 definito da
Y(v1) = v1 - v2, Y(v2) = -v1 + v2 Y(v3) = 3v3
posta W la base canonica di E3 determinare:
1) la matrice M associata a Y rispetto alle basi B,B
2) la matrice M ...
Non mi risulti sia vero...infatti la trasposta di una matrice diagonale è la matrice stessa, e $M^tM $ è uguale alla matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale elevati al quadrato...(cioè deve essere M=I)...
insomma, allora perchè mi si dice che cambiando base a un prodotto scalare la matrice associata al prodotto scalare (definito positivo) è anche ORTOGONALE?
Buonasera a tutti,
Sto cercando di dimostrare la seguente proprietà universale della topologia quoziente:
Enunciato: Siano $X$ uno spazio topologico, \(\rho\) una relazione di equivalenza su $X$ e \(Y=X/\rho\) lo spazio quoziente, \(\pi:X\rightarrow Y\) la proiezione canonica. Allora $Y$ è dotato della topologia quoziente se e solo se per ogni funzione continua \(f:X\rightarrow Z\) tra spazi topologici tale che \(a\rho b\) implichi $f(a)=f(b)$, si ...
Il teorema fondamentale dell'algebra ci dice che ogni polinomio di grano n ha, nel campo complesso, n radici contate secondo la loro molteplicità. Il teoremam di diagonalizzabilità ci dice che una matrice è diagonalizzabile se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo, ma allora ogni matrice è diagonalizzabile su C?
Sono bloccato su questo esercizio:"Determinare i valori del parametro $k$ in corrispondenza dei quali la conica di equazione: $4x^2+(3-4k)xy-3ky^2+1=0$ risulti un'iperbole i cui asintoti formino un angolo di coseno pari a $4/5$.Per quali valori(di $k$) rappresenta invece un'iperbole equilatera?".Svolgendo la matrice della conica ho ottenuto i valori di $k$ per i quali quest'ultima rappresenta una iperbole,ma come faccio a trovare quelli per cui ne ...
Salve a tutti, avrei un problema con una determinata tipologia di esercizi. Un esercizio generico sui sistemi lineari il quale, dandomi le equazioni di un sistema in dipendenza da un parametro k, mi dice di studiare il sistema al variare di k. Ad esempio discutere il sistema lineare al variare del parametro k:
$\{(2x-y+3kz=1-2k),(x-z=1),(y+k^2z=k):}$
Allora ovviamente io mi calcolo il determinante della matrice incompleta:
$A=((2,-1,3k),(1,0,-1),(0,1,k^2))$
la quale affinchè il sistema sia risolubile deve avere il determinante ...
Salve a tutti..
ho da poco ripreso a studiare algebra lineare e sto incontrando qualche difficoltà nel calcolo della controimmagine..
In pratica ho questa matrice associata:
$((1,2h-2,2h-2),(-1,h+2,h-1),(1,-2,1))$
e devo determinare, al variare di $h$, la controimmagine $f^-1(2,1,-1)={v in RR^3 | f(v) = (2,1,-1)}$
So che per $h!=0$ si ha un isomorfismo.
Come devo procedere?
Grazie anticipatamente a chiunque mi voglia aiutare ^^
per trovare gli autovalori di una matrice,invece di trovare il polinomio caratteristico,è possibile ridurla a scala ,ottenere una matrice triangolare superiore e a quel punto gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale??
Ciao ragazzi, mi dovete aiutare , ho un paio di dubbi sulla risoluzione dei sistemi lineari.
1). Mi servirebbe un quadro generale di come comportarmi quando devo risolvere un sistema....
(es. se esiste un metodo generale, una strategia da seguire oppure se devo risolvere facendo uso del determinante o del rango..)
2). All'università il prof. ci fa risolvere i sistemi parametrici solo con il metodo di Gauss..
il problema e che durante la riduzione della matrice completa ci sono dei passaggi in ...
Per quali valori di k$in$$CC$ la matrice
A= $((1,1,-2),(3,2,k-1),(k-i,-3,1))$ $in$ è invertibile?
$((1,1,-2,1,0,0),(3,2,k-1,0,1,0),(k-i,-3,1,0,0,1))$
$((1,1,-2,1,0,0),(0,-1,k+5,-3,1,0),(0,-3-k+i,1+2k-2i,-k+1,0,1))$
$((1,1,-2,1,0,0),(0,-1,k+5,-3,1,0),(0,0,-k^2-6k+3i-14+ik,2k-2i+9,-3-k+i,1))$
vengono valori assurdi per rendere la matrice non singolare, ho fatto qualche errore?
Salve a tutti!Ho iniziato oggi lo studio dell'algebra lineare e ho già qualche problema nella risoluzione di alcuni esercizi. In particolare, non riesco ad impostare gli esercizi che richiedono se un insieme sia uno spazio vettoriale. Vi posto il seguente esercizio tratto dalla dispensa del mio professore:
Sia $I= (-\pi/2 , \pi/2)$ e sia $arctg$ la determinazione dell'arcotangente a valori in $I$; in $I$ si ponga: $\alpha + \beta = arctg (tg \alpha + tg \beta)$, ...
Ciao ragazzi..
ho il seguente esercizio:
nello spazio vettoriale $RR^4$ si considerino i sottospazi $W=L(v_1,v_2,v_3)$, con $v_1=(1,0,1,-1)$, $v_2=(h,1,0,1)$, $v_3=(0,-h,1,0)$, $h in RR$ e $V={(x,y,z,t)|z=t=0}$
Devo verificare che per ogni $h in RR$ si ha $RR^4=V+W$.
Devo quindi verificare che la dimensione della somma sia $4$ e per far ciò utilizzo la formula di Grassmann: $Dim(V+W)=Dim(W)+Dim(V)-Dim(W nn V)$. Spero di non aver detto troppe cavolate finora
A ...
Sia X spazio topologico e S un sottoinsieme di X. Dimostrare che chiusi di S, con la topologia indotta, sono le intersezioni di S con gli insiemi chiusi di X.
Ciao a tutti, faccio sempre riferimento a voi perchè siete dei mostri.
Ho un grandissimo dubbio che nessuna dispensa è riuscita a levarmi.
Riguarda la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
ad esempio, avendo la matrice: (non riesco a farvele belle xk mi dice "Le dimensioni immesse non sono valide"
|1 -1 0 0|
|-1 1 0 0|
|0 0 3 -1|
|0 0 -1 3|
mi trovo gli autovalori addattando il polinomio caratteristico.
|1-x -1 0 0|
|-1 1-x 0 0|
|0 0 ...
Vi scrivo perchè leggendo alcune soluzioni da un libro sono entrato ufficialmente in crisi.
Prendo ad esempio l'esercizio che trascrivo:
Sia $B={v1, v2, v3, v4}$ una base per $V$, verificare che $B'$ formata dai vettori $w1= v2 - v3, w2= 3v1 + v4, w3= -v1 + v3, w4= v2 + v4$ sia una base e scrivere poi le formule del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$
Io ho scritto la matrice $A=((0,1,-1,0),(3,0,0,1),(-1,0,1,0), (0,1,0,1))$ ho verificato che è una base ed ok.
Ora per quello che ho capito ...
Buonasera!
Oggi ho iniziato a fare degli esercizi di Geometria nello spazio ma non ho avuto dei bei risultati ç_ç
1) Determinare il piano per l'origine parallelo alle rette:
r: $\{(x - 2z = 0),(y + x - 1 = 0):}$
s: $\{(x - 3z + 2 = 0),(y + 2z +4 = 0):}$
2) Determinare l'equazione del piano passante per il punto (0,1,2) e contenente la retta:
r: $\{(x -2y + 4z = 0),(2x + y - z + 1 = 0):}$
Il primo ho pensato di risolverlo con la stella di piani con centro nell'origine.
Mi è venuta un equazione del tipo $ax +by + cz = 0$
Dopo di che ho pensato di ...
Mi scuso per il post anomalo ma avrei un urgenza assoluta:sto cercando una persona in grado di aiutarmi per un paio d'ore online per due o tre esercizi di vario tipo di algebra lineare.Per chi interessato Contattarmi all indirizzo giakfm@gmail.com PAGO BENE
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