Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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scrivere l'equazione dell'iperbole che ha la reta $2x-3y+1=0$ come asintoto, tangente in $(1,0)$ all'asse $Y=0$ e passante per $(2,2)$.
nono riesco a trovare l'incipit per questo esercizio....
mi aiutate?
devo trovare la retta simmetrica alla retta di equazione:
$X=2t+1$
$Y=3t-2$
$Z=t-1$
rispetto al piano $x+z+y-3=0$
io ho ragionato cosi..
ho trovato un generico punto della retta ponendo $t=0$ ottenedo cosi $A=(1,-2,-1)$
ho considerato la retta perpendicolara al piano e passante per A ottenedo cosi H
per provare il simmetrico di A cioè A' devo imporre che la distanza di AH sia uguale a HA'
similmete considero $t=1$ ottenedo ...
Riporto quanto scritto sul libro, ed il mio tentativo di soluzione;
Provare che nell'insieme degli endomorfismi $f: RR^2rarrRR^2$
1) Non esiste alcun elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4), f(3,4)=(1,1);
2) Esiste un solo elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4);
3) Esistono infiniti elementi f per cui f(1,2)=(2,3);
4) Esiste un solo elemento f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,3)=(3,4), f(3,3)=(3,3);
5) Esistono infiniti elementi f per cui f(1,2)=(2,3), f(2,4)=(4,6).
Il primo ...
La definizione di controimmagine è qualcosa di molto semplice, e non ho alcun tipo di problema a comprenderla.
Tuttavia ho fatto un esercizio che mi ha messo un po' in crisi e sono abbastanza confuso.
Ad un certo punto dell'esercizio si riva ad avere una matrice (associata ad un'applicazione lineare) del tipo :
$((0,1,1 | 2 ),(1,0,0 | 2 ),(0,1,1 | 2))$ che diventa $((0,1,1 | 2 ),(1,0,0 | 2 ),(0,0,0 | 0))$
si arriva alla conclusione che tutti i vettori del tipo (2,y,2-y) hanno immagine (2,2,2) .
ora quello che mi chiedo è, quelli che ho ...
Salve, non riesco a capire un passaggio di un testo di teoria delle matrici. Fino a questo punto
Tutto ok. Poi però viene questo
E qui non riesco a capire. Se io volessi ottenere la matrice $M'$ nelle basi $\beta '$ e $\gamma '$ prima applicherei la matrice di passaggio $\beta' \rightarrow \beta$ (cioè $P^{-1}$) poi $M$ (da $\beta$ a $\gamma$) e infine la matrice di passaggio $\gamma \rightarrow \gamma'$ (cioè $Q$) e quindi ...
E' da un po' che penso a questo esercizio ma non riesco a capire come svolgerlo.
Bene o male ho capito cosa vuol dire richiedere una proiettività che abbia punti fissi, sottogruppi localmente o globalmente fissi. Almeno in teoria. E' poi nella pratica che non riesco a svolgere l'esercizio. Probabilmente è più semplice di quello che sembra.
Esercizio: Determina le equazioni di una proiettività non identica $\phi : P^2 -> P^2$ tale che il punto
$P = [1,0,1]$ sia fisso e la retta ...
Non riesco a capire cosa vogliono significare le equazioni dei sistemi lineari.. mi spiego meglio: so che quando il sistema è determinato le rette/piani si intersecano in un punto, quando è impossibile non si intersecano e quando è indeterminato si intersecano in punti infiniti e fin qui tutto ok però come faccio a capire se i piani per esempio sono a due a due paralleli e il terzo piano interseca gli altri due oppure se due piani sono paralleli al piano xz/yz/xy?
Grazie per le risposte
Buongiorno a tutti sono un nuovo iscritto al forum,
in primis spero di non aver sbagliato sezione.
Ho un problema che mi sconvogle ... premetto che la mia matematica e geometria è un pò rugginita come daltronde tutto ciò che riguarda il calcolo matriciale.
Allora iniziamo ... ho un sistema d'assi e quindi un origine con tanti punti di cui conosco le coordinate x,y,z rispetto questo riferimento d assi. Considerando che il piano ha un equazione del tipo
ax+by+cz+d=0
come diavolo si fa a ...
Salve a tutti, vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento.
Ho un vettore nello spazio $\v=(1,1,-3)$. Voglio trovare un vettore $u$ ortogonale a $v$.
So che un vettore $(x,y,z)$ è ortogonale ad un altro vettore $(x',y',z')$ se il prodotto scalare è $0$. Ovvero se $x x'+yy'+zz' = 0$.
Pongo quindi $u=(x',y',z')$. Dev'essere $x'+y'-3z'=0$.
Trovo un vettore di tale tipo trovando ad esempio gli $x',y',z'$ verificanti tale ...
Giorno ragazzi, stavo facendo qualche esercizio di teoria e mi sono imbattuto in questi 2 quesiti dai quali questa mattina non riesco ad uscirne.
Discutere la veridicità delle seguenti affermazioni, motivando le risposte.
a- esiste unico il piano passante per un punto P che sia parallelo ai piani $\pi$: aX+bY+cZ+d=0 e $\pi$': aX'+bY'+cZ'+d'=0 con
r$|(a,b,c),(a',b',c')|$=2
b- esiste unico il piano passante per un punto P che sia parallelo ai piani $\pi$e ...
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto....ho bisogno del vostro aiuto, sto svolgendo dei vecchi compiti in preparazione dell'esame. Mi sono bloccato in alcuni punti. Vi posto qui sotto la foto del testo.
Sono riuscito a svolgere i punti 1A e 2A, invece non sono riuscito a fare i punti 1B e 2B, ed è qui che chiedo il vostro aiuto....vi ringrazio in anticipo!!
studiare al variare del parametro k reale
ecco il sistema:
$x+y=1$
$x+2y+z=k$
$x+2y+(2k^2-k)z=k-1$
la matrice $A=$((1,1,0),(1,2,1),(1,2,2k^2-k))$$
la matrice $AB=$((1,1,0),(1,2,1),(1,2,2k^2-k),(1,K,K-1))$$
IL determinate della matrice A $|A|= (k-1)(k+1/2)$
i valori per i quali il determinate è nullo sono $K=1$ , $K=-1/2$
per $K !=1,-1/2$ la caratteristica delle due matrici AB e A sono uguali a ...
Al campo vettoriale $F(x_1 , x_2 , x_3 ) = ( - x_1 , - 2 x_2 , 3 x_3 )$, $F : RR^3 \to RR^3$, si può associare una 2-forma differenziale $\omega$.
Devo dimostrare che $\omega$ è esatta.
\[ \displaystyle \omega = - x_1 dx_1 \wedge dx_2 - 2 x_2 dx_1 \wedge dx_3 + 3 x_3 dx_2 \wedge dx_3 \]
Il dominio è semplicemente connesso, quindi
\[ \displaystyle d \omega = 0 \iff \omega \text{ esatta} \]
Però:
\[ \displaystyle d \omega = 2 dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \]
Ho sbagliato qualcosa?
P.S.: Ho fissato io questa base: ...
$A = ((1,1),(2,2))$
$p_A(\lambda) = \lambda (\lambda - 3) = 0$
Quindi gli autovalori sono $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 3$ entrambi con molteplicità algebrica 1 e quindi gli autospazi relativi sono di dimensione 1. Ergo la matrice è diagonalizzabile.
Ho trovato una base per ciascun autospazio:
E(0)
$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t$
E(3)
$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t $
Ora unendo le basi degli autospazi ho che $M = ((-1,1),(1,2))$
e ora la matrice diagonalizzata si trova facendo $D = M^-1AM$ ?
Il mio libro non è chiarissimo su ...
Gentili utenti del forum ho un problema nel capire l'associazione di una matrice ad un'applicazione lineare, vi spiego meglio il mio problema con un esempio (che è sempre la cosa più efficace):
$V=L(v1,v2,v3,v4)$
$W=L(w1,w2,w3)$
$f: V \rightarrow W $
f(v1) = w1+w2;
f(v2) = w1-w2+w3;
f(v3) = w2;
f(v4) = w1 + w3;
la matrice associata è:
$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(0,1,0,1))$
che ridotta diventa:
$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(-1,0,0,0))$
Primo problema:
Risolvendo il sistema omogeneo associato si ottiene che:
x=0; y=z; t=-z; Il ...
Supponendo di avere una Matrice
A = $((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$
facendo i calcoli col il polinomio caratteristico, trovo la matrice
\(\displaystyle
|A - \lambda I | \)= $|((1 - \lambda,0,1),(0,1- \lambda,1),(0,0,- \lambda) )|$ = \(\displaystyle (1 - \lambda)^2 - \lambda \)
Quindi ho questi autovalori: \(\displaystyle \lambda_0 = 0 \space \space \space \lambda_1 = 1 \)
Volendo calcolare l'autospazio dell'auto valore \(\displaystyle \lambda_0 \)
\(\displaystyle \vartheta_1 \), mi calcolo la matrice:
$((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$ che ha rango = ...
non so proprio come iniziare questo esercizio
E
dato uno spazio vettoriale V su R avente dimensione 3 e base B =
u1; u2; u3. Posto W = L(u2; u3), si consideri l'applicazione lineare
G : W -->V
la cui matrice associata, rispetto alla base B' = (u2; u3) di W e ad alla base B e:
MBB'(G) =(01 )
1-1
1 1
A:
a) Stabilire se G e ingettiva.
b) Sia F : V ->V l'endomor smo tale che
F(u1) = 0; FjW = G:
Stabilire se F e diagonalizzabile
Vi propongo questo simpatico e semplice esercizio di topologia. Credo sia molto utile a chi sta studiando per la prima volta queste cose.
Sia \(X=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) dotato della topologia euclidea. Si provi che il quoziente \(\mathbb{R}/X\) ottenuto facendo collassare \(X\) ad un punto è omeomorfo alla circonferenza \(\mathbb{S}^1\).
Lo spazio duale è un argomento che ho sempre fatto fatica a digerire, ma ora è il momento di capire a fondo la questione. Comincio con una domanda che credo sia banale: se ho una base \(\displaystyle \mathcal{V}= \{ v_{1} , v_{2} , v_{3} \} \) di uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \) di dimensione \(\displaystyle 3 \), come ricavo la base duale \(\displaystyle \mathcal{V}^{*} \)? E qual è il suo "significato"?
Salve a tutti!
Stavo cercando di svolgere questo esercizio di algebra lineare ma ho qualche dubbio sul come procedere nella risoluzione. La traccia è la seguente:
In $RR^(3×3)$ sia $H = { ( ( a+b+d, c -b-d, 0),(c , c , b+d ),( a-b-d, b+d , c) ) | a,b,c,d in RR$
1) si provi che H è un sottospazio di $RR^(3×3)$;
2) si determini una base e la dimensione di H.
Ho svolto il primo punto dell'esercizio ma non riesco a svolgere il secondo punto. Infatti, ho cercato di individuare una base applicando il teorema del completamento ma incontro una ...
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