Dimensione intersezione

[starsuper]

Sarà che ho dormito poco, ma mi è venuto un grande dubbio mentre facevo gli esercizi.
Consideriamo $phi: v3 ->v3$
Mi si chiede di trovare $dim(phi)^(-1)(S)$.
Son giunto a questa conclusione:
1) se il risultato è un'identita 0=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=dim(V)$
2)Se il risultato è impossibile 5=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=-1 $ (vedi dimensione insieme vuoto)
3)se ottengo un'equazione risolubile x1-x3=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=dim(V)$- nequazioni ottenute

Puo andare?
Ma quindi Non è necessario usare : $dim(phi)^(-1)(S)= $null$(phi) + dim ( S nn Im(phi)) ??$

[starsuper]

E aggiungo :
Le stesse regole valgono anche per l'intersezione di ad esempio $dim (S nn Im(phi))$ ? ma supponiamo che in fondo al calcolo mi trovi

$((t-p=0),(2t+z-2p=0))$

L'unico vettore che risolverebbe questa eq è il vettore nullo. Quindi dato che $dim (0) = 0 $. La dimensione sarebbe $0$.

Se ineve seguo il ragionamento del post 1 verrebbe che la dimensione è data da $Vn-2$ (neq ottenute)

Quanto minchia è la dimensione di questa intersezione?

Aiutatemi perche ho questo dubbio e non ci dormo la notte !