Inviluppo convesso
Dato un insieme di punti nel piano cosa si intende con "farne l'inviluppo convesso"?
Risposte
Significa trovare il più piccolo (rispetto all'inclusione insiemistica) insieme convesso che contiene quei punti.
Per maggiori informazioni, puoi guardare ad esempio qui.
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Più precisamente mi riferivo all'inviluppo convesso che si utilizza per costruire il poligono di Newton, quindi di un insieme finito di punti $(x_i,y_i)$ con $x_i!=x_j$ per $i!=j$...
Come diceva Paolo, l'inviluppo convesso di un insieme \(X\) è il più piccolo (rispetto a \(\subseteq\)) insieme convesso che contiene \(X\).
L'inviluppo convesso si indica di solito con \(\operatorname{conv} X\) ed è caratterizzato:
\[
\forall X\subseteq C \text{ convesso},\ \operatorname{conv} X\subseteq C\; .
\]
Si vede facilmente che \(\operatorname{conv} X\) è costituito da tutte le combinazioni convesse degli elementi di \(X\), i.e. che:
\[
\xi \in \operatorname{conv} X \quad \Leftrightarrow \quad \exists N \in \mathbb{N},\ \exists x_1,\ldots ,x_N \in X,\ \exists \lambda_1,\ldots ,\lambda_N\in [0,1]:\ \sum_{n=1}^N \lambda_n=1 \text{ e } \xi =\sum_{n=1}^N \lambda_n\ x_n\; .
\]
L'inviluppo convesso si indica di solito con \(\operatorname{conv} X\) ed è caratterizzato:
\[
\forall X\subseteq C \text{ convesso},\ \operatorname{conv} X\subseteq C\; .
\]
Si vede facilmente che \(\operatorname{conv} X\) è costituito da tutte le combinazioni convesse degli elementi di \(X\), i.e. che:
\[
\xi \in \operatorname{conv} X \quad \Leftrightarrow \quad \exists N \in \mathbb{N},\ \exists x_1,\ldots ,x_N \in X,\ \exists \lambda_1,\ldots ,\lambda_N\in [0,1]:\ \sum_{n=1}^N \lambda_n=1 \text{ e } \xi =\sum_{n=1}^N \lambda_n\ x_n\; .
\]
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