Problema con questa diagonalizzazione

[andreiguodala9]

Salve ragazzi, vorrei sapere come riuscire a risolvere questo esercizio:

Sia [tex]\mathbb{R}[/tex]2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata x di grado [tex]\leqslant[/tex] 2. Sia L l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R}[/tex]2[x] rappresentato, rispetto alla base canonica, dalla matrice:

$ A=( ( 3 , 2 , 3 ),( 1 , 4 , 3 ),( 1 , 2 , 5 ) ) $

Verificare che L è diagonalizzabile.

Ho calcolato il polinomio caratteristico con il metodo di LaPlace, quindi mi esce:

p(x) = (3-x)det $( (4-x, 3),(2, 5-x) ) $ -1det $( (2, 3),(2, 5-x) ) $ +1det$( (2, 3),(4-x, 3) ) $

Sviluppando mi esce:
(3-x)([tex]{x}^{2}[/tex] -9x+14)(2x-4)(3x-6) = (3-x)(x-7)(x-2)(2x-4)(3x-6)
Mi escono quindi tre autovalori: 3,7 e 2 con le molteplicità rispettivamente 1,1 e 3, quindi non mi esce diagonalizzabile. Ma in realtà lo è, soluzioni?

[Pappappero1]

Una matrice $3 \times 3$ ha il polinomio caratteristico di grado $3$. Inoltre ricorda che se trovi tutti autovalori distinti, cioè con molteplicità algebrica $1$, la matrice è sempre diagonalizzabile.

[andreiguodala9]

Ma in questo caso l'autovalore 2 ha molteplicità algebrica 3!

[Pappappero1]

A te è venuto fuori, non so come, un polinomio di grado $5$. E' chiaro che hai sbagliato qualcosa...

Il polinomio caratteristico deve venire:

$x^3 - 12 x^2 + 36 x - 32$