Matrice diagonalizzabile?

[Giugi921]

Ho la seguente matrice: $ ( ( 2 , 1 , 0 , 2 ),( 4 , 2 , 0 , k ),( 0 , 0 , 5 , -1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 ) ) $

mi chiede di determinare il polinomio caratteristico e di dire per quali valori di $ k in RR $ la matrice A risulta diagonalizzabile...il polinomio caratteristico mi risulta essere $ P(X)=x(4-x)^2(3-x) $ poiché essendo una matrice triangolare superiore a blocchi ho calcolato il determinante di ogni singolo blocco $ det( ( 2-x , 1 ),( 4 , 2-x ) )*det( ( 5-x , 1 ),( 2 , 2-x) ) $ e mi sono ricavata gli autovalori...dopodiché mi chiede di determinare per quale k la matrice A è diagonalizzabile ma non ho ben capito come si faccia...potete darmi una mano per favore???? è molto importante!!!! grazie mille..

[Sk_Anonymous]

Usa questo teorema!

Un endomorfismo \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) è diagonalizzabile se e solo se f ha tutti gli autovalori reali e regolari

[Giugi921]

si ma il k non mi compare nel polinomio caratteristico..però poi ci dovrò attribuire un valore quando, ricavati tutti gli autovalori, andrò a risolvere la matrice $ (A-XI) $ relativa a ciascun autovalore...come faccio?? il libro dice per k=3 ma io non capisco..

[Sk_Anonymous]

Lascia stare se il k compare o no, il teorema non lo richiede. Vai per gradi, leggi il teorema precedente.
Quali sono gli autovalori di questa matrice? Sai cosa vuol dire che un autovalore è regolare? Come si trova a livello pratico la molteplicità algebrica di ogni autovalore? E quella geometrica?

P.S. e lascia stare il risultato del libro

[Giugi921]

sisi gli autovalori li ho calcolati e sono x=0 con molteplicità 1 x=4 con molteplicità 2 e x=3 con molteplicità 1
dopodiché mi sono calcolata le matrici $ (A-XI) $ però il k, quando vado a risolvere, c'é e devo attribuirgli un valore affinché f sia diagonalizzabile! solo che per ogni matrice $ (A-XI) $ il k varia! non so davvero come decidere il valore di k! perchè poi mi chiede per il k trovato di diagonalizzare la matrice $ A $ !

[Sk_Anonymous]

"Giugi92": mi sono calcolata le matrici $ (A-XI) $ però il k, quando vado a risolvere, c'é e devo attribuirgli un valore affinché f sia diagonalizzabile!

Quando vai a risolvere .... che cosa? Che senso ha dire che risolvi una matrice?
Una matrice è diagonalizzabile se ha autovalori reali è regolari, cioè se la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica. Quindi il k lo trovi imponendo che \( m_g(X_1) = n - rk(A-X_1 \cdot I_n) = m_a (X_1) \), con il rango che evidentemente dipenderà da k. In altre parole

\( rk(A-X_1 \cdot I_n) = n - m_a (X_1) \) e trovi che, se devi abbassare il rango, un determinato minore deve essere nullo, e quindi hai una condizione di uguaglianza su k, mentre se devi alzare il rango, un determinato minore deve essere NON nullo, e quindi trovi una disuguaglianza su k.

[Giugi921]

grazie penso di aver capito adesso! comunque scusa prima mi ero espressa male...provo a farla poi ti dico grazie:)