Analisi matematica di base

Salve a tutti, sto cercando di portare a termine un esercizio dove mi viene chiesto di modificare la classica costruzione dell'insieme di Cantor al fine di generarne uno non di misura nulla. L'idea di fondo che mi è venuta è stata: 1. da $[0,1]$ rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4}$ centrato intorno al suo punto medio \(\displaystyle x=\frac{1}{2} \); 2. in ognuno dei $2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza ...

$f(x,y)=y(x^2+y)$ so che nel punto $(0,0)$ non posso determinare minimo o massimo con la regola dell'hessiano quindi io adotterei questa strategia non so se sia giusta devo vedere cosa accade nell'intorno del punto in particolare considero la funzione con una restrizione lungo la bisettrice $f(x,x)=x(x^2+x)=x^2(x+1)$ noto che tale funzione sarà $>0$ per $x>1$ mentre sarà $<0$ per $x<1$ giachhè ho trovato che nell'intorno non un valore ...

$f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$ nel punto $O(0,0)$ ho l'hessiano nullo dunque per determinare la natura del mio punto procederei in questo modo Calcolo l'incremento $deltaf=f(x,y)-f(0,0)>0$ risulta dunque $(y-x^2)(y-2x^2)>0$ considero la restrizione sulla prima bisettrice $f(x,x)=(x-x^2)(x-2x^2)=x^2(2x^2-3x+1)>0$ studiando il segno all'interno della parentesi si vedi facilemente che è $>0$ per $x<1uux>2$ mentre è $<0$ per $1<x<2$ quindi siccome il segno non è costante trovo che il ...

chiedo già scusa se il mio esercizio posso essere un po lunghetto ma cerco di fare un unico post con più dubbi invece che piu post con singoli dubbi Assegnata la funzione $f(x,y)={(y^3-3xy^2)/(x^2+3y^2)} $per $(x,y)!=(0,0)$ mentre $0$ per $(x.y)=(0,0)$ studiarne la continuità impongo che $lim_((x,y)to(0,0))f(x,y)=f(0,0)$ passando alle cordinate polari ottengo $lim_(alphato0+) (alpha^3(sin^3theta)-3alpha^3(costhetasin^theta))/(3alpha^2)=0$ ecco il mio primo dubbio è lecito mettere $alphato0+$ derivabilità per studiare la derivabilità devo far ...

Buonasera, qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come calcolare questa serie? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $

Ciao a tutti, in una dimostrazione ho trovato questa produttoria: $ 2sin(pi/n)*2sin((2pi)/n)*...*2sin(((n-1)pi)/n)=prod_(k = 1)^(n-1)2sin((kpi)/n)=n $ L'autore cita solo il risultato senza darne la dimostrazione, volevo sapere da dove risulta questo fatto. Qualcuno può aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo

Data la funzione $ y(t,T):=\int_(t)^(T)f(t,s)ds $, come ottengo $dy(t,T)$? Il problema nasce dal fatto che una delle variabili della funzione è anche estremo di integrazione. Qualche hint?

salve a tutti, avrei un dubbio nello studio della convergenza uniforme di una funzione. $fn(x)=n^2 ln(1+ 1/n)x^n$ in $R$ per studiare la convergenza puntuale applico il limite notevole di $x^n$ ottenendo: $\lim_{n \to \infty}f(x)_n$= $\{(0 , se ,-1<x<1),(1 , se , x=1):}$ pertanto posso affermare che nell'intervallo $(-1,1]$ la funzione converge puntualmente. la mia domanda è per calcolare la convergenza Uniforme tramite $\lim_{n \to \infty} ($sup$ |f(x)_n-f(x)|)$ quanto vale la mia f(x)? 0 oppure 1? ...

Il prof ci ha lasciato la fine della dimostrazione del teorema d'inversione locale per esercizio, ma non so come continuare avete dei suggerimenti? Enunciato Thm: Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) aperto e non vuoto e \( f \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^n) \) e \( x_0 \in E\) Se \( \operatorname{D}f(x_0) \) è invertibile allora \( f \) è un diffeomorfismo locale in \( x_0 \). Inoltre \( g:=f^{-1} \) è \( \mathcal{C}^1 \) e \( \operatorname{D}g(f(x_0)) = (\operatorname{D}f(x_0))^{-1} ...

$ int_(0)^(1) sqrt(1+4x^2) dx $ Come fareste un integrale del genere? Ho utilizzato wolfram per cercare di capirlo ma sostituisce la x con $ tan (u)/2 $ ed utilizza anche le secanti. Conoscete un metodo un pò più semplice o è l'unico modo?

Considero l'equazione differenziale ordinaria $\dotx(t)=b(x(t))$ con $b:RR^n->RR^n$ globalmente Lipschitziana. Considero un aperto $U \sube RR^{n+1}$ (dove $RR^{n+1}$ e' da pensare come spazio-tempo) e suppongo che esista una funzione $u \in C^1(U)$ costante su tutte le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria. Ho che $u(x(t),t)="costante"$, quindi derivando rispetto al tempo ho che $D_xu \cdot \dotx(t)+u_t=0$. Se le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria ...

salve a tutti, ho questo esercizio svolto ma non riesco a capire il passaggio evidenziato qualcuno può aiutarmi

Salve, dovrei determinare ampiezza e fase delle armoniche della serie di Fourier associata alla funzione $2pi$-periodica $f(x)=x^2$, $x in [0,2pi)$ Ho trovato la serie: $F(x)=4/3 pi^2+\sum_{n=1}^(+infty)[4/n^2*cos(nx)-(4pi)/n*sen(nx)]$ Applicando il metodo dell'angolo aggiunto, ottengo: $F(x)=4/3 pi^2+\sum_{n=1}^(+infty)[4/n^2*sqrt(1+n^2*pi^2)*sen(nx+pi-arctan(1/(pi*n)))]$ Che mi sembra corretto, ma il libro mi dà che la fase è: $\theta_n=arctan(n*pi)$ Può essere che il libro abbia usato il metodo dell'angolo aggiunto per ottenere il coseno è vero che, per ...

Salve a tutti, avrei un dubbio riguardo ad un argomento di Analisi II. Nello studio della convergenza Uniforme di una successione di funzione non riesco a capire quando posso o meno derivare la funzione per determinare la convergenza. ad esemio se $ fn(x)= n/(n(e^x) +1)$ in questo caso come faccio a determinare la convergenza uniforme?

Siano \( f \in \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \) e \( g \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \) 1) Dimostra che \[ (f \ast g)(x):= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)dt \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \] 2) Sia \( \epsilon \in \mathbb{R}_+^{\ast} \) dimostra che esiste \( f_n \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che \( \sup \{ \begin{vmatrix} f(x) - f_n(x) \end{vmatrix} : x \in \mathbb{R} \} \leq \epsilon \) Diciamo allora che \( \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) è denso in \( ...

Buongiorno, Come posso stabilire per quali valori di $alpha$ positivo la seguente funzione: \[ f(x,y) := \begin{cases} \frac{y |x|^\alpha}{|x| + y^2} &\text{, se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\text{, se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \] è continua e differenziabile? Ho provato utilizzando la direzione $f(t^2,t)$ e mi viene che a deve essere maggiore di $0.5$, ma non sono sicuro di poter estendere il concetto a tutte le direzioni Grazie

$\sum_{n=}^(infty) (-1)^n(2^(2n)(x^(2n+1)))/((2n)!)$ applicando d'alambert $lim_(ntoinfty)|(-1)^(n+1)(2^(2n+1))/((2(n+1)!))(2n!)/((-1)^n(2^(2n))$ facendo i le varie semplificazioni mi rimane $lim_(nto+infty)|2/((2n+2)(2n+1))|$ quindi giacchè il mio $L=0$ il raggio sarà $infty$ però non coincide con la soluzione in quanto su wolfram mi dice $xcos(2x)$ dove sbaglio ?

Studiare convergenza puntuale e uniforme della seguente successione $f_n(x)=nx^2e^(-nx^2)$. $xinR$ Per prima cosa impongo per vedere se converge puntualmente $lim_(nto+infty) f_n(x)=0$ In effetti fa proprio 0 portando l'esponenziale al denominatore e quindi per la gerarchia degli infiniti vale quanto detto. Avremo dunque che la serie converge puntualmente Il problema viene sulla convergenza uniforme Impongo che $lim_(nto+infty) Sup |f_n(x)-f(x)|=0$ Per waistarass siccome la funzione è continua possiamo ...

$ f(x)={ ( x^2sin(1/x) AA x!=0 ),( 0 ):} $ Devo verificare che f(x) sia derivabile in R e che la derivata sia continua in R. Il problema è che non so come ragionare per x=0: se la funzione assume il valore costante f(0)=0, devo semplicemente usare la derivata di una costante oppure la derivata di f in x=0 non esiste?

Mi domandavo se non ho fatto un errore nel mio ragionamento: Siano \(U,V \subset \mathbb{R}^n \) aperti, e \( \psi : U \rightarrow V \) un diffeomorfismo. 1) Dimostra che se \( U \) è connesso per archi allora \( \psi \) preserva l'orientazione o rovescia l'orientazione 2) Dare un esempio di aperti \( U, V \) che non sono connessi per archi e un diffeomorfismo \( \psi \) che non preserve ne rovescia l'orientazione 1) Supponiamo per assurdo che \( U \) sia connesso per archi e che \( \psi \), ...