Continuità di funzione in 2 variabili al variare di alfa
Buongiorno,
Come posso stabilire per quali valori di $alpha$ positivo la seguente funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} \frac{y |x|^\alpha}{|x| + y^2} &\text{, se } (x,y) \neq (0,0) \\
0 &\text{, se } (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\]
è continua e differenziabile?
Ho provato utilizzando la direzione $f(t^2,t)$ e mi viene che a deve essere maggiore di $0.5$, ma non sono sicuro di poter estendere il concetto a tutte le direzioni
Grazie
Come posso stabilire per quali valori di $alpha$ positivo la seguente funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} \frac{y |x|^\alpha}{|x| + y^2} &\text{, se } (x,y) \neq (0,0) \\
0 &\text{, se } (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\]
è continua e differenziabile?
Ho provato utilizzando la direzione $f(t^2,t)$ e mi viene che a deve essere maggiore di $0.5$, ma non sono sicuro di poter estendere il concetto a tutte le direzioni
Grazie
Risposte
Innnzitutto, $(t^2,t)$ non è una direzione, ma una curva, precisamente la parabola di equazione $x=y^2$.
Poi, potresti pensare di sfruttare la sempreverde disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\;,
\]
che vale per $a,b>= 0$ (e col segno di uguale solo se $a=b$).
Poi, potresti pensare di sfruttare la sempreverde disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\;,
\]
che vale per $a,b>= 0$ (e col segno di uguale solo se $a=b$).
Hai ragione, è una curva. Ho sbagliato i termini.
Potresti spiegarti meglio?
ho utilizzato la disuguaglianza dove a l'ho posto pari a y del numeratore e b al resto.
Tuttavia poi non riesco ad andare avanti poichè mi rimane da studiare il limite di |x|^a/(|x|+y^2) che è il nocciolo duro del mio problema.
Grazie
Potresti spiegarti meglio?
ho utilizzato la disuguaglianza dove a l'ho posto pari a y del numeratore e b al resto.
Tuttavia poi non riesco ad andare avanti poichè mi rimane da studiare il limite di |x|^a/(|x|+y^2) che è il nocciolo duro del mio problema.
Grazie
Credo di avere risolto.
Non so se può valere come regola universale, ma nel caso di funzioni di questo tipo (funzione simmetrica rispetto all'asse y e del tipo (x^a*y^b)/(x^c+y^d) con a,b,c,d reali positivi) credo possa valere la relazione:
Se la somma dei gradi dei singoli elementi del numeratore (a+b) è maggiore della metà della somma dei gradi dei singoli elementi al denominatore (c+d), allora il limite va a 0, altrimenti tende al un valore finito l che varia ala variare della direzione.
Chiedo a voi un parere in merito
grazie
Non so se può valere come regola universale, ma nel caso di funzioni di questo tipo (funzione simmetrica rispetto all'asse y e del tipo (x^a*y^b)/(x^c+y^d) con a,b,c,d reali positivi) credo possa valere la relazione:
Se la somma dei gradi dei singoli elementi del numeratore (a+b) è maggiore della metà della somma dei gradi dei singoli elementi al denominatore (c+d), allora il limite va a 0, altrimenti tende al un valore finito l che varia ala variare della direzione.
Chiedo a voi un parere in merito
grazie
Hai dedotto una regola?
Dimostrala.
Dimostrala.
Non lo so, ci sto provando ma non so se ci riesco.
Forse é solo un caso.
Ad ogni modo, avresti una soluzione per questo esercizio?
Forse é solo un caso.
Ad ogni modo, avresti una soluzione per questo esercizio?
Ho provato ad impostare questa dimostrazione sulla base del tuo suggerimento.
Data f(x,y)= x^a*y^b/(x^m+y^n)
con x e y positivi e a,b,m,n positivi
x^a*y^b/(x^m+y^n) = 2*x^a*y^b/[(x^m+y^n)/2] <= 2*x^a*y^b/radq(x^m*y^n)=2*x^(a-m/2)*y^(b-n/2)
tale limite converge se a>m/2 e b>=n/2 oppure viceversa.
Data f(x,y)= x^a*y^b/(x^m+y^n)
con x e y positivi e a,b,m,n positivi
x^a*y^b/(x^m+y^n) = 2*x^a*y^b/[(x^m+y^n)/2] <= 2*x^a*y^b/radq(x^m*y^n)=2*x^(a-m/2)*y^(b-n/2)
tale limite converge se a>m/2 e b>=n/2 oppure viceversa.
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