Trigonometria.

[StellaMartensitica]

Salve, dovrei determinare ampiezza e fase delle armoniche della serie di Fourier associata alla funzione $2pi$-periodica

$f(x)=x^2$, $x in [0,2pi)$

Ho trovato la serie:

$F(x)=4/3 pi^2+\sum_{n=1}^(+infty)[4/n^2*cos(nx)-(4pi)/n*sen(nx)]$

Applicando il metodo dell'angolo aggiunto, ottengo:

$F(x)=4/3 pi^2+\sum_{n=1}^(+infty)[4/n^2*sqrt(1+n^2*pi^2)*sen(nx+pi-arctan(1/(pi*n)))]$

Che mi sembra corretto, ma il libro mi dà che la fase è:

$\theta_n=arctan(n*pi)$

Può essere che il libro abbia usato il metodo dell'angolo aggiunto per ottenere il coseno

è vero che, per $n in NN | n>=1$

$pi/2-arctan(1/(pi*n))=arctan(pi*n)$? E come si prova?

[gugo82]

Archi complementari nel primo quadrante hanno seno e coseno scambiati, quindi $tan (pi/2 - alpha) = 1/(tan alpha)$. Posto $x = tan alpha$ trovi…

Oppure, quanto vale la derivata di $arctan x + arctan(1/x)$ in $]0,+oo[$?

[StellaMartensitica]

Già è vero, me ne ero dimenticato. Anzi, mi ricodavo che $sen(pi/2-x)=cos(x)$ ma non che da questo seguisse anche

$tan(pi/2-x)=cotang(x)=1/tan(x)$

Grazie della risposta.

La derivata di

$g(x)=arctan(x)+arctan(1/x)$

è

$g'(x)=1/(1+x^2)-1/x^2*(1/(1+1/x^2))=0$

Quindi a cosa porta questo? $g(x)$ è una costante... quindi

$\alpha(x)=arctan(x)$ e $\beta(x)=-arctan(1/x)$ differiscono per una costante

(in base ad un corollario del teorema di Lagrange)

Non riesco a concludere. Come faccio a sapere che quella costante è proprio $pi/2$?

[gugo82]

Beh, $g(1)=…$

[pilloeffe]

Ciao SirDanielFortesque,

Beh, è piuttosto noto che si ha:

$arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 $

Se ne è discusso anche recentemente qui...

[StellaMartensitica]

Certo grazie a tutti e due.

[gugo82]

E cosa succede per $x<0$?

[StellaMartensitica]

Per $x<0$ differiscono di $-pi/2$ ma questo perché il codominio della $arctan(x)$ è ridotto per definizione a $(-pi/2,pi/2)$.