Funzioni a supporto compatto
Siano \( f \in \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \) e \( g \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \)
1) Dimostra che \[ (f \ast g)(x):= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)dt \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \]
2) Sia \( \epsilon \in \mathbb{R}_+^{\ast} \) dimostra che esiste \( f_n \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che \( \sup \{ \begin{vmatrix} f(x) - f_n(x) \end{vmatrix} : x \in \mathbb{R} \} \leq \epsilon \)
Diciamo allora che \( \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) è denso in \( \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \)
Indicazione: Sia \( n \in \mathbb{N} \) definiamo la funzione \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
\[ g_n(x) = \frac{n g(nx)}{\int_{\mathbb{R}} g } \]
dove \[ g(x)= \left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & x \in ]-1,1[\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Dimostra che \( g_n \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) poi considera \( g_n \ast f \)
Hint: \[ \int_{\mathbb{R}} g_n(x)dx =1;\ \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \]
Per il primo punto 1) ho semplicemente fatto così, sia \( j \in \{1,\ldots l \} \)
\( \frac{\partial^j}{\partial x^j} f(t)g(x-t) = f(t) \frac{\partial^j}{\partial x^j}g(x-t) = f(t)g^{(j)}(x-t) \)
E visto che \( f \in \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \) e \( g \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \) abbiamo che
\( f(t)g(x-t) \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \) pertanto abbiamo che \[ \frac{\partial^j}{\partial x^j} (f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^j}{\partial x^j} f(t)g(x-t) dt \] pertanto abbiamo che \( \frac{\partial^j}{\partial x^j} (f\ast g)(x) \in \mathcal{C}^{k-j}(\mathbb{R}) \) e questo dimostra che abbiamo \( f \ast g \in \mathcal{C}^{k}(\mathbb{R}) \)
Domanda perché non abbiamo \( f \ast g \in \mathcal{C}_c^{k}(\mathbb{R}) \) ?
Per il punto 2 non riesco a capire come devo fare, in primo luogo non riesco neanche a calcolare l'integrale di \( g_n \)
Grazie se qualcuno riesce a suggerirmi qualcosa o a darmi una mano.
1) Dimostra che \[ (f \ast g)(x):= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)dt \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \]
2) Sia \( \epsilon \in \mathbb{R}_+^{\ast} \) dimostra che esiste \( f_n \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che \( \sup \{ \begin{vmatrix} f(x) - f_n(x) \end{vmatrix} : x \in \mathbb{R} \} \leq \epsilon \)
Diciamo allora che \( \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) è denso in \( \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \)
Indicazione: Sia \( n \in \mathbb{N} \) definiamo la funzione \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
\[ g_n(x) = \frac{n g(nx)}{\int_{\mathbb{R}} g } \]
dove \[ g(x)= \left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & x \in ]-1,1[\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Dimostra che \( g_n \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) poi considera \( g_n \ast f \)
Hint: \[ \int_{\mathbb{R}} g_n(x)dx =1;\ \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \]
Per il primo punto 1) ho semplicemente fatto così, sia \( j \in \{1,\ldots l \} \)
\( \frac{\partial^j}{\partial x^j} f(t)g(x-t) = f(t) \frac{\partial^j}{\partial x^j}g(x-t) = f(t)g^{(j)}(x-t) \)
E visto che \( f \in \mathcal{C}_c^0(\mathbb{R}) \) e \( g \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \) abbiamo che
\( f(t)g(x-t) \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}) \) pertanto abbiamo che \[ \frac{\partial^j}{\partial x^j} (f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^j}{\partial x^j} f(t)g(x-t) dt \] pertanto abbiamo che \( \frac{\partial^j}{\partial x^j} (f\ast g)(x) \in \mathcal{C}^{k-j}(\mathbb{R}) \) e questo dimostra che abbiamo \( f \ast g \in \mathcal{C}^{k}(\mathbb{R}) \)
Domanda perché non abbiamo \( f \ast g \in \mathcal{C}_c^{k}(\mathbb{R}) \) ?
Per il punto 2 non riesco a capire come devo fare, in primo luogo non riesco neanche a calcolare l'integrale di \( g_n \)
Grazie se qualcuno riesce a suggerirmi qualcosa o a darmi una mano.
Risposte
Il punto 1 è moralmente corretto, anche se a rigore dovresti giustificare che si possono scambiare integrale e derivata.
Tu chiedi: Perché \(f\ast g\) potrebbe non avere supporto compatto? Si può rispondere con un esempio immediato; se \(g=1\), allora
\[
f\ast g (x)= \int_{-\infty}^\infty f(t)\, dt, \]
quindi è una funzione costante, che non è a supporto compatto (a meno che \(\int f=0\), naturalmente).
Per il punto 2, non ti serve calcolare l'integrale di \(g\); ti basta dimostrare che l'integrale di \(g_n\) è identicamente uguale a \(1\). Si tratta di fare il cambio di variabile \(y=nx, dy=ndx\).
Tu chiedi: Perché \(f\ast g\) potrebbe non avere supporto compatto? Si può rispondere con un esempio immediato; se \(g=1\), allora
\[
f\ast g (x)= \int_{-\infty}^\infty f(t)\, dt, \]
quindi è una funzione costante, che non è a supporto compatto (a meno che \(\int f=0\), naturalmente).
Per il punto 2, non ti serve calcolare l'integrale di \(g\); ti basta dimostrare che l'integrale di \(g_n\) è identicamente uguale a \(1\). Si tratta di fare il cambio di variabile \(y=nx, dy=ndx\).
@3m0o
per approfondimento (ma neanche tanto in realtà, visto che hai già praticamente scritto tutto) cercati "regolarizzazione per convoluzione" ( o regularization by convolution in inglese), magari tramite una sequenza di cosìddetti mollificatori (o bump functions). Tramite questa procedura si mostra che $\mathcal{C}_c^{infty}$ è denso in $L^p$.
per approfondimento (ma neanche tanto in realtà, visto che hai già praticamente scritto tutto) cercati "regolarizzazione per convoluzione" ( o regularization by convolution in inglese), magari tramite una sequenza di cosìddetti mollificatori (o bump functions). Tramite questa procedura si mostra che $\mathcal{C}_c^{infty}$ è denso in $L^p$.
Così?
2)
Abbiamo \[ \int_{\mathbb{R}} g_n (x) dx= \frac{n}{\int_{\mathbb{R}} g} \int_{\mathbb{R}} g(nx) dx = \frac{1}{\int_{\mathbb{R}} g} \int_{\mathbb{R}} g(y) dy = 1; \ \forall x \in \mathbb{R} \]
Inoltre abbiamo per ipotesi che \( f \in \mathcal{C}^0_{c} \) dunque \(\forall x_0 \in \mathbb{R}, \forall \epsilon >0 \exists \delta_{\epsilon,x_0} \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R} \) tale che \( \begin{vmatrix} x_0 - x \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon,x_0} \) risulta che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(x_0) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
\( g(x) \in \mathcal{C}^{\infty} \) chiaramente, e per il punto 1) abbiamo che \( f_n = g_n \ast f \in \mathcal{C}^{\infty} \)
Mi rimane solo un dubbio, come faccio a dimostrare che \( g_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) ? E questo renderebbe credo automaticamente \( f_n : = g_n \ast f \in \mathcal{C}_c^{\infty} \).
Dunque consideriamo la norma sup
\[ \begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} = \begin{Vmatrix} f \cdot 1 - g_n \ast f \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t)(f(x)-f(x-t)) \end{Vmatrix}_{\infty}dt \]
\[ \leq \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t) \end{Vmatrix}_{\infty} \begin{Vmatrix}f(x)-f(x-t) \end{Vmatrix}_{\infty}dt \leq \epsilon \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t) \end{Vmatrix}_{\infty} dt = \epsilon \]
Posso usare \( \begin{Vmatrix}f(x)-f(t-x) \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \epsilon \) ? Nel senso perché posso scegliere \( t \) tale che \( \begin{vmatrix} x - (x-t) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon, x_0} \) ?
2)
Abbiamo \[ \int_{\mathbb{R}} g_n (x) dx= \frac{n}{\int_{\mathbb{R}} g} \int_{\mathbb{R}} g(nx) dx = \frac{1}{\int_{\mathbb{R}} g} \int_{\mathbb{R}} g(y) dy = 1; \ \forall x \in \mathbb{R} \]
Inoltre abbiamo per ipotesi che \( f \in \mathcal{C}^0_{c} \) dunque \(\forall x_0 \in \mathbb{R}, \forall \epsilon >0 \exists \delta_{\epsilon,x_0} \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R} \) tale che \( \begin{vmatrix} x_0 - x \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon,x_0} \) risulta che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(x_0) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
\( g(x) \in \mathcal{C}^{\infty} \) chiaramente, e per il punto 1) abbiamo che \( f_n = g_n \ast f \in \mathcal{C}^{\infty} \)
Mi rimane solo un dubbio, come faccio a dimostrare che \( g_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) ? E questo renderebbe credo automaticamente \( f_n : = g_n \ast f \in \mathcal{C}_c^{\infty} \).
Dunque consideriamo la norma sup
\[ \begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} = \begin{Vmatrix} f \cdot 1 - g_n \ast f \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t)(f(x)-f(x-t)) \end{Vmatrix}_{\infty}dt \]
\[ \leq \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t) \end{Vmatrix}_{\infty} \begin{Vmatrix}f(x)-f(x-t) \end{Vmatrix}_{\infty}dt \leq \epsilon \int_{\mathbb{R}} \begin{Vmatrix} g_n(t) \end{Vmatrix}_{\infty} dt = \epsilon \]
Posso usare \( \begin{Vmatrix}f(x)-f(t-x) \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \epsilon \) ? Nel senso perché posso scegliere \( t \) tale che \( \begin{vmatrix} x - (x-t) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon, x_0} \) ?
Il fatto che g_n ha supporto compatto è ovvio, essa si annulla per |x| più grande di 1/n. E attenzione: anche se uno dei fattori ha supporto compatto, la convoluzione potrebbe non avere supporto compatto, lo abbiamo detto nel post precedente.
Infine, ricorda che f è *uniformemente* continua. Questo risponde alla tua domanda finale.
Infine, ricorda che f è *uniformemente* continua. Questo risponde alla tua domanda finale.
Magari mi sbaglio ma non è ovvio infatti \( g_n \) si annulla al di fuori di \( ]-1/n ; 1/n [ \) che non è un insieme compatto.
Inoltre avendo \( g_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) sono ipotesi diverse che
\( g_n \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) e su cui mi hai dato un contro esempio che il prodotto di convoluzione \( g_n \ast f \) non è a supporto compatto, ma mi sembra giusto che se entrambe le funzioni sono a supporto compatto allora lo è anche il prodotto di convoluzione.
Per quanto riguarda la domanda finale, sono d'accordo che è uniformemente continua ma non vedo come mai risponde al mio dubbio, fissato un \( \epsilon \), abbiamo che \( \delta_{\epsilon} \) dipende solamente da \( \epsilon \) e non più da \( x \) ma comunque devo scegliere \( t \) che soddisfa \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon} \) e a priori visto che integro su \( \mathbb{R} \) potrei avere \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \geq \delta_{\epsilon} \) e pertanto non avere soddisfatta la disuguaglianza \( \begin{Vmatrix} f(x) - f(x-t) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \) per quell \( \epsilon \) fissato.
Inoltre avendo \( g_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) sono ipotesi diverse che
\( g_n \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) e su cui mi hai dato un contro esempio che il prodotto di convoluzione \( g_n \ast f \) non è a supporto compatto, ma mi sembra giusto che se entrambe le funzioni sono a supporto compatto allora lo è anche il prodotto di convoluzione.
Per quanto riguarda la domanda finale, sono d'accordo che è uniformemente continua ma non vedo come mai risponde al mio dubbio, fissato un \( \epsilon \), abbiamo che \( \delta_{\epsilon} \) dipende solamente da \( \epsilon \) e non più da \( x \) ma comunque devo scegliere \( t \) che soddisfa \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon} \) e a priori visto che integro su \( \mathbb{R} \) potrei avere \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \geq \delta_{\epsilon} \) e pertanto non avere soddisfatta la disuguaglianza \( \begin{Vmatrix} f(x) - f(x-t) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \) per quell \( \epsilon \) fissato.
"3m0o":
Magari mi sbaglio ma non è ovvio infatti \( g_n \) si annulla al di fuori di \( ]-1/n ; 1/n [ \) che non è un insieme compatto.
Certamente. Quindi il suo supporto è contenuto in \([-1/n, 1/n]\). Il supporto è, per definizione, sempre chiuso; il problema è che potrebbe non essere limitato.
(Comunque, se vogliamo essere pignoli, \(g_n\) si annulla anche nei punti \(\pm 1/n\). Non che sia importante, come dicevo).
Inoltre avendo \( g_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) sono ipotesi diverse che
\( g_n \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( f \in \mathcal{C}_c^{0} \) e su cui mi hai dato un contro esempio che il prodotto di convoluzione \( g_n \ast f \) non è a supporto compatto, ma mi sembra giusto che se entrambe le funzioni sono a supporto compatto allora lo è anche il prodotto di convoluzione.
Esatto. Devono essere a supporto compatto tutte e due, affinché la convoluzione sia a supporto compatto.
Per quanto riguarda la domanda finale, sono d'accordo che è uniformemente continua ma non vedo come mai risponde al mio dubbio, fissato un \( \epsilon \), abbiamo che \( \delta_{\epsilon} \) dipende solamente da \( \epsilon \) e non più da \( x \) ma comunque devo scegliere \( t \) che soddisfa \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \leq \delta_{\epsilon} \) e a priori visto che integro su \( \mathbb{R} \) potrei avere \( \begin{vmatrix} t \end{vmatrix} \geq \delta_{\epsilon} \) e pertanto non avere soddisfatta la disuguaglianza \( \begin{Vmatrix} f(x) - f(x-t) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \) per quell \( \epsilon \) fissato.
Ah, ho capito. Comunque, l'integrale non è su tutto \(\mathbb R\) ma solo su \([-1/n, 1/n]\), perché al di fuori di questo intervallo si annulla \(g_n\). Vedi un po' se questo ti basta a recuperare il tuo ragionamento.
"dissonance":
Certamente. Quindi il suo supporto è contenuto in \([-1/n, 1/n]\). Il supporto è, per definizione, sempre chiuso; il problema è che potrebbe non essere limitato.
(Comunque, se vogliamo essere pignoli, \(g_n\) si annulla anche nei punti \(\pm 1/n\). Non che sia importante, come dicevo).
Cos'è il supporto?
"dissonance":
Esatto. Devono essere a supporto compatto tutte e due, affinché la convoluzione sia a supporto compatto.
Era quello che avevo detto anche prima
"dissonance":
Ah, ho capito. Comunque, l'integrale non è su tutto \(\mathbb R\) ma solo su \([-1/n, 1/n]\), perché al di fuori di questo intervallo si annulla \(g_n\). Vedi un po' se questo ti basta a recuperare il tuo ragionamento.
Per ogni \( \epsilon \), esiste \( M >0\) sufficientemente grande tale che per ogni \( n \geq M \), \([-1/n, 1/n] \subset [-\delta_{\epsilon}, \delta_{\epsilon} ] \), e dunque \( f_n \rightarrow f \) con \( n \rightarrow \infty \) ?
Il supporto di \(f\) è, per definizione, la chiusura dell'insieme \(\{x\in\mathbb R\ :\ f(x)=0\}\).
Quanto a \(f_n\to f\), è corretto, ma lo devi dimostrare. Il ragionamento che fai con le norme è sostanzialmente giusto ma fai confusione con la norma in \(x\), in \(t\)... Invece di usare la norma, stima usando il valore assoluto;
\[
|f_n(x)-f(x)|=\left| \int_{x-1/n}^{x+1/n} g_n(x-t)(f(t)-f(x))\, dt\right|\le \ldots\]
Devi trovare, alla fine, una stima indipendente da \(x\).
Quanto a \(f_n\to f\), è corretto, ma lo devi dimostrare. Il ragionamento che fai con le norme è sostanzialmente giusto ma fai confusione con la norma in \(x\), in \(t\)... Invece di usare la norma, stima usando il valore assoluto;
\[
|f_n(x)-f(x)|=\left| \int_{x-1/n}^{x+1/n} g_n(x-t)(f(t)-f(x))\, dt\right|\le \ldots\]
Devi trovare, alla fine, una stima indipendente da \(x\).
Ma io usavola norma infinito per le funzioni \( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\infty} := \sup_{x \in \mathbb{R}} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \) e devo appunto dimostrare che esiste \( f_n \in \mathcal{C}_c^{\infty} \) tale che \( \begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} =\sup_{x \in \mathbb{R}} \begin{vmatrix} f(x) - f_n(x) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Non posso cambiare a piacimento?
Cioé mi spiego meglio, se \( \begin{vmatrix} f(x) - f(t) \end{vmatrix} \leq \epsilon \) per quanto detto sopra (continuita uniforme e integro su \( [-1/n, 1/n] \) quindi con \( n \) sufficientemente grande quella disuguaglianza è vera per ogni \( x \in [-1/n, 1/n] \) e questo rende \( \begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \epsilon \) proprio perché è uguale all'integrale che ho nel commento sopra
\[\begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \int_{ [-1/n, 1/n]}\begin{vmatrix} g_n(x-t)( f(x) - f(t)) \end{vmatrix} dt \leq \epsilon \]
Quindi \( f_n \rightarrow f \)
(Edit) c'è qualcosa che mi turba in quello che ho scritto, ma sono di fretta.
Non posso cambiare a piacimento?
Cioé mi spiego meglio, se \( \begin{vmatrix} f(x) - f(t) \end{vmatrix} \leq \epsilon \) per quanto detto sopra (continuita uniforme e integro su \( [-1/n, 1/n] \) quindi con \( n \) sufficientemente grande quella disuguaglianza è vera per ogni \( x \in [-1/n, 1/n] \) e questo rende \( \begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \epsilon \) proprio perché è uguale all'integrale che ho nel commento sopra
\[\begin{Vmatrix} f - f_n \end{Vmatrix}_{\infty} \leq \int_{ [-1/n, 1/n]}\begin{vmatrix} g_n(x-t)( f(x) - f(t)) \end{vmatrix} dt \leq \epsilon \]
Quindi \( f_n \rightarrow f \)
(Edit) c'è qualcosa che mi turba in quello che ho scritto, ma sono di fretta.
Ok, ora va bene.
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