Individuare h e k affinché la funzione sia derivatile nel suo dominio

[elManego]

Ciao ragazzi. Ho una funzione definita a tratti:

$f(x) := \{ ( (x^2 + x)/(x - 2) , ", per " x<1), ( hx^3 + kx^2, ", per " x>=1):}$

e devo trovare $h$ e $k$ affinché la funzione sia derivatile nel suo dominio.

Io ho provato a svolgere il problema calcolando i due limiti per $x$ che tende a $1^-$ ed a $1^+$ e ponendoli uno uguale all’altro (io ho $h + k = -2$) poi rifaccio i limiti ma con le derivate delle due funzioni e mi trovo con l’equazione $3h + 2k = -5$, le metto a sistema e trovo che $h$ e $k$ sono uguale a $-1$.
È giusto il procedimento? Grazie mille

[feddy]

L'idea è corretta: imponi prima la continuità (che ovviamente è necessaria per la derivatiblità), e poi imponi che le derivate si raccordino correttamente a $x=1$. Per essere sicuri, andrebbero calcolate come limite del rapporto incrementale, ma in questo caso puoi benissimo usare le usuali regole. Trovi due condizioni (indipendenti) per due incognite $h,k$ e risolvi il sistema. Non ho guardato i conti, ma puoi verificare benissimo la bontà del tuo risultato disegnando i grafici risultanti, anche a mano.

[pilloeffe]

Ciao elManego,

La tua soluzione mi pare corretta, facendo i conti anche a me risulta $h = k = - 1 $