Analisi matematica di base

al termine di un problema di Cauchy mi viene richiesto di calcolare il seguente limite: $ lim_(x -> +oo) (y(t)-3/2t^2e^t)/(te^t) =2 $ con $ y(t) $ integrale generale. Ho che $ y(t)=alphae^t+(beta-alpha)te^t+3t^2e^t $ pertanto $ y(t)-3/2t^2e^t= alphae^t+(beta-alpha)te^t+3/2t^2e^t $ il problema è che il limite è nella forma indeterminata $ oo/oo $ e per ottenere un limite finito numeratore e denominatore dovrebbero avere lo stesso grado, ma il termine di grado massimo $ 3/2t^2e^t $ non è parametrico e quindi non ho idea di come annullarlo per ottenere un ...

Dimostrare che, dati $n$ numeri positivi $x_1 , ... , x_n$, con $n>=2$ tali che $x_1 * x_2 * ... * x_n = 1$ si ha $x_1 + x_2 + ... + x_n>=n$ PASSO BASE pongo $n=2$. $x_1 * x_2 = 1 => x_2= 1/(x_1)$ Quindi $x_1 + 1/(x_1) >= 2$ che è vera. Non so se in casi come questo si debba dimostrare anche questa relazione, cioè che un numero sommato al suo reciproco dà come risultato un numero $>=2$, a me sembra piuttosto ovvia. PASSO INDUTTIVO Devo dimostrare $x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) >= n+1$ Per ...

Stabilire per quali valori del parametro reale positivo α la seguente funzione risulta differenziabile nel punto (0, 0): $f(x,y)= \{ ((3|x|^alpha y + 5x|y|^alpha) / (|x|^3 +4|y|^3),if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$ Allora facendo un cambio di variabili in coordinate polari, è continua per $\alpha>=3$,ed è anche derivabile indipendentemente da $\alpha$ perché i limiti delle derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ sono 0 entrambi. Ora per la differenziabilità come posso procedere? Sonoa arrivata a scrivere: $(3|h|^alpha k +5h|k|^alpha)/(|h|^3 +4|k|^3 sqrt(h^2 + k^2))$

Ciao, leggevo un libro e mi sono imbattuto nella seguente dimostrazione errata, al lettore era affidato il compito di scovare l'errore ma a me sembra giusta. Proposizione A(n): "se a e b sono due numeri interi positivi tali che max(a,b)=n, allora a=b" Supponiamo che A(r) sia valida. Siano a e b due numeri interi positivi tali che max(a,b)=r+1. Ora consideriamo i due numeri interi: y=a-1 z=b-1 Allora max(y,z)=r. Da cui y=z poiché abbiamo supposta valida A(r). Ne consegue che a=b, quindi A(r+1) è ...

Ciao a tutti, Non mi è chiaro un punto importante della dimostrazione del teorema di Lagrange. Data la funzione $f : [a , b] -> RR $ Come mai per dimostrare che esiste un punto $c$ tale che $f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b -a) $ si usa una funzione $\varphi(x)$ $= f(x) - (x-a)*((f(b)-f(a))/(b-a)) $ ? Mi è chiaro il proseguimento della dimostrazione (uso del teorema di Rolle) e le varie uguaglianze. Tuttavia non riesco a capire come mai si usi proprio la funzione $\varphi(x)$ , e non riesco a capire in quale modo ...

Salve a tutti! Avrei un po' di perplessità sul concetto di multifunzione, e vorrei riportarvi un esempio da me commentato, affinché possiate dirmi se le mie argomentazioni sono giuste o meno. Sia $A=B=RR$. Definiamo per ogni numero reale $x$, $F(x) = {y in RR : sin y = x}$. $F$ è una multifunzione da $A$ in $B$. Ora, è corretto dire che, se per es. scelgo $x=1/2$, ad esso viene associato, tramite la multifunzione ...

salve! mi servirebbe un aiutino con un passaggio di questo esercizio sulla ricerca di massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. In realtà più che un problema legato alla tipologia dell'esercizio,è un problema relativo alla ricerca delle soluzioni del sistema omogeneo. $ { ( z+2x+1-2lambdax=0 ),( 2y-2lambday=0 ),( 2z+x-2lambdaz=0 ),( -(x^2+y^2+z^2-1)=0 ):} $ ${ (2y(1-lambda)=0),( z+2x+1-2lambdax=0),( 2z+x-2lambdaz =0),( -(x^2+y^2+z^2-1)=0 ):}$ ${ (y=0),( z+2x+1-2lambdax=0),( 2z+x-2lambdaz =0),( -(x^2+z^2-1)=0 ):}$ $ { (y=0),( x=+- sqrt(1-z^2)),( z^2+z-x^2=0),(z+2x(1-lambda)+1=0):} $ ecco non capisco esattamente cosa fa il mio professore tra il terzo e il quarto sistema, per l'esattezza come si ...

Salve avrei delle difficoltà a risolvere il seguente integrale $int int x(y-2)dxdy$ dove $D={x,yinRR^2: (x-2)^2+y^2<=4 , y>=x-2}$ per la rappresentazione del dominio non ho avuto difficoltà in quanto è una semicirconferenza che si trova nel primo e quarto quadrante... il mio problema è continuare... avevo pensato inizialmente di passare a coordinate polari però non mi conduce a nessuna parte perchè non mi riesco a determinare gli estremi di integrazione... ho anche provato ad intersecare le due curve ma trovarmi ...

$f(x,y)=(x^2-3y)^2e^(-y)$ una volta determinati gli estremi relativi , bisogna detrminare gli estremi assosulti nella regione di piano del primo quadrante delimitata dagli assi cartesiani e dalla retta $x+y=1$ su come svolgere questo esercizio non avrei problemi se non che nello svolgere la derivate parziali prime mi ritrovo a risolvere un sistema di questa maniera ${(e^(-y)[4x(x^2-3y)]=0),(e^(-y)[-x^4+6x^2(y-1)-9(y-2)y]=0):}$ tale sistema come è risolvibile? inoltre assoluti ho parametrizzato la retta ...

Ciao, sarà più di una settimana che mi sbatto su questo esercizio. Date delle funzioni, devo disporle in ordine crescente di infinitesimo per $x \rightarrow +\infty$. Le funzioni: L'approcio risolutivo che ho usato è simile a quello che ho visto negli esercizi d'esempio, utilizzare le stime asintotiche per portare la funzione ad una forma $f(x) ∼ \frac{C}{x^(\alpha)}$, dove $C$ è una qualsiasi costante. La prima e la quarta funzione sono riuscito ad affrontarle perché appunto mi ...

Ciao, avrei un dubbio sulla definizione di tale tipo di applicazione, dicesi campo vettoriale una funzione a valori vetoriali definita su D aperto di $R^m$ del tipo: $F:D->R^m$ cioè associa a un punto un vettore di $R^m$. Mi chiedevo se tecnicamente fosse sbagliato dire che associa un vettore a un altro vettore o un punto ad un altro punto. Alla fin-fine $R^m$ posso intenderli come voglio, no? Spero qualcuno mi aiuti anche se è una domanda stupida ...

Buonasera, ho la seguente successione definita per ricorrenza \(\displaystyle f(n)=\begin{cases} a_0=1 \\ a_{n+1}=sin(a_n) \end{cases} \) Procedo cosi, suppongo in primis che la successione ammetta limite, cioè \(\displaystyle a=sin(a) \) , per $n to infty$, il quale può assumere valori compresi nel seguente intervallo, cioè $a in (-infty, +infty)$. Si osserva subito che $sin(a_n) ge 0\ quad forall n in mathbb{N}$ in quanto $sin(a_n)<0$ lo si ha per $pi le a_n le 2pi$, quest'ultima relazione non è verificata in ...

Ciao a tutti, Qualcuno saprebbe fornirmi la dimostrazione del seguente teorema? Una funzione continua in [a;b] è limitata in [a;b] . Grazie in anticipo

Buongiorno e buon appetito visto l'orario Ho il seguente problemino, cioè, considero una successione limitata $a_n$ e posto $l'=minlim_(n to infty )a_n \ qquad l''=maxlim_(n to infty)a_n$, comunque si fissi $epsilon>0$, allora si ha definitivamente $l'-epsilon<a_n<l'' + epsilon$. Procedo cosi,considero i seguenti insiemi: $A={x in mathbb{R}:a_n le x,\ n ge k}$ $B={y in mathbb{R}:a_n ge y, \ n ge k }$ essendo che la successione è limitata, esistono i rispettivi estremo inferiore $l''$ di $A$ ed estremo superiore per $l'$ di ...

Ciao a tutti. Vi scrivo perché non è mi chiaro come mai, nel caso seguente, il limite della funzione composta non sia quello atteso. $ f(y) : A= (-1 , 1) -> RR$ $ g(x) : B= ( -1/2 , 1/2 ) -> RR$ $ f(y) = [1- |y|] $ (si intende parte intera) $ g(x) $ funzione caratteristica siffatta: $1 if x in [-1/2 , 1/2]$ $0 if x notin [-1/2 , 1/2] $ Come mai il limite della funzione composta non è uguale a zero? Quali ipotesi del teorema sono venute a mancare? $lim_(x->0) f(y) = 0$ $lim_(x->0) g(x)= 0$ $lim_(x->0) f(g(x)= 1$

Ciao a tutti! Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza tra punto di aderenza e punto di frontiera? grazie in anticipo

Mi domandavo una cosa, Le soluzioni dell esercizio e il modo in cui l'ho risolto differeiscono per una piccola cosa. Enunciato: Determinare tra tutti i triangoli rettangoli aventi la stessa area, quallo con l'ipotenusa minimale. Come ho fatto io: Siano \( x,y \) le lungehzze dei due cateti. Poniamo \( E = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y >0, g(x,y)=xy-2A=0 \} \) E sia \( f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) la funzione definita da \( f(x,y)=x^2 + y^2 \) Il problema posto diviene a trovare ...

Non riesco a capire come si fa una derivata totale. Ho letto che essa è definita come, nel caso di funzione a due variabili: $ df(x,y)/dx= (delf)/(delx) * dx/dx + (delf)/(dely) * (dy)/(dx) $ Poi ho letto che essa non è altro che la somma delle derivate parziale della funzione calcolate rispetto a tutte le variabili. Potete chiarirmi quale delle due versioni è esatta? (o magari sono la stessa cosa ma non riesco a capirlo)

Buongiorno, volevo avere alcuni chiarimenti sulla risoluzione di esercizi relativi alla convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Ho un esercizio che recita: Data $\f_n(x) = n^alpha(1-x^2)^nx+(sen(nx))/sqrt(n)$ con $f_n : [0, 1] -> RR$, $\n in NN \ {0}$ ed $\alpha in RR$. $\f$ è il limite puntuale di $\f_n$ ove esiste ed è finito. Verificare: 1) $\f_n -> f$ uniformemente su $\[0, 1] Leftrightarrow alpha < 1/2$ 2) Se $\alpha <= 0$ allora $\f_n -> f$ puntualmente su ...

Ciao, un esercizio chiede di scrivere il seguente prodotto $$ (2-7i)(5+3i) $$ in forma trigonometrica. Se svolgo prima il prodotto ottengo un modulo davvero grande e non so come determinare l'argomento del numero complesso tramite l'arcotangente, non essendo il suo argomento quello di angoli "noti". $$ \arctan(\frac{31}{\sqrt{1802}}) $$ D'altra parte se cerco la formula trigonometrica dei singoli fattori mi ritrovo comunque argomenti ...