Diffeomorfismo e connessione per archi
Mi domandavo se non ho fatto un errore nel mio ragionamento:
Siano \(U,V \subset \mathbb{R}^n \) aperti, e \( \psi : U \rightarrow V \) un diffeomorfismo.
1) Dimostra che se \( U \) è connesso per archi allora \( \psi \) preserva l'orientazione o rovescia l'orientazione
2) Dare un esempio di aperti \( U, V \) che non sono connessi per archi e un diffeomorfismo \( \psi \) che non preserve ne rovescia l'orientazione
1)
Supponiamo per assurdo che \( U \) sia connesso per archi e che \( \psi \), un diffeomorfismo, non preserva né rovescia l'orientazione.
Abbiamo allora che dati qualsiasi due punti \( x, \tilde{x} \in U \) esiste un cammino continuo \( \gamma : [0,1] \rightarrow \Gamma \subset U \) tale che \( \gamma(0)=x \) e \( \gamma(1)=\tilde{x} \). Siccome \( \psi \) non preserva né rovescia l'orientazione abbiamo che esiste \( x, \tilde{x} \in U \) tale che \( \det(\operatorname{D}\psi(x))<0 \) e \( \det(\operatorname{D}\psi(\tilde{x}))>0 \)
Sia dunque \( \gamma \) il cammino continuo che collega questi due punti. Siccome \( \psi \) è un diffeomorfismo abbiamo che \( \psi \in \mathcal{C}^1(U,V) \) dunque tutte le derivate parziali di \( \psi \) sono continue. Inoltre abbiamo che \( \psi \) ristretta a \( \Gamma \) coincide con la funzione \( ( \psi \circ \gamma ) : [0,1] \rightarrow V \).
Poiché inoltre \( \psi \) è un diffeomorfismo abbiamo che \( \det(\operatorname{D}\psi(y)) \neq 0 \) per tutti \( y \in U \), in particolare per tutti gli \( y \in \Gamma \). Consideriamo la funzione \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)) : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) che associa \( y \in [0,1] \) a \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(y)) \in \mathbb{R} \).
Siccome \[ \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(y)) := \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial (\psi \circ \gamma)_i}{\partial x_{\sigma(i)}} (y) \] abbiamo che la funzione \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)) \) è una funzione continua in quanto moltiplicazione di funzioni continue pertanto siccome per ipotesi abbiamo che \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(0)) < 0 \) e \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(1)) > 0 \) per il teorema dei valori intermediari abbiamo che esiste un \( a \in ]0,1[ \) tale che \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(a)) = 0 \) e questo contraddice l'ipotesi che \( \psi \) è un diffeomorfismo, poiché abbiamo trovato un \( U \supset \Gamma \ni z = \gamma(a) \) tale che \( \det(\operatorname{D}\psi(z)) = 0 \)
Dunque se \( U \) è connesso per archi allora \( \psi \) preserva l'orientazione o rovescia l'orientazione.
2) Non ho idea, suggerimenti?
Siano \(U,V \subset \mathbb{R}^n \) aperti, e \( \psi : U \rightarrow V \) un diffeomorfismo.
1) Dimostra che se \( U \) è connesso per archi allora \( \psi \) preserva l'orientazione o rovescia l'orientazione
2) Dare un esempio di aperti \( U, V \) che non sono connessi per archi e un diffeomorfismo \( \psi \) che non preserve ne rovescia l'orientazione
1)
Supponiamo per assurdo che \( U \) sia connesso per archi e che \( \psi \), un diffeomorfismo, non preserva né rovescia l'orientazione.
Abbiamo allora che dati qualsiasi due punti \( x, \tilde{x} \in U \) esiste un cammino continuo \( \gamma : [0,1] \rightarrow \Gamma \subset U \) tale che \( \gamma(0)=x \) e \( \gamma(1)=\tilde{x} \). Siccome \( \psi \) non preserva né rovescia l'orientazione abbiamo che esiste \( x, \tilde{x} \in U \) tale che \( \det(\operatorname{D}\psi(x))<0 \) e \( \det(\operatorname{D}\psi(\tilde{x}))>0 \)
Sia dunque \( \gamma \) il cammino continuo che collega questi due punti. Siccome \( \psi \) è un diffeomorfismo abbiamo che \( \psi \in \mathcal{C}^1(U,V) \) dunque tutte le derivate parziali di \( \psi \) sono continue. Inoltre abbiamo che \( \psi \) ristretta a \( \Gamma \) coincide con la funzione \( ( \psi \circ \gamma ) : [0,1] \rightarrow V \).
Poiché inoltre \( \psi \) è un diffeomorfismo abbiamo che \( \det(\operatorname{D}\psi(y)) \neq 0 \) per tutti \( y \in U \), in particolare per tutti gli \( y \in \Gamma \). Consideriamo la funzione \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)) : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) che associa \( y \in [0,1] \) a \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(y)) \in \mathbb{R} \).
Siccome \[ \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(y)) := \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial (\psi \circ \gamma)_i}{\partial x_{\sigma(i)}} (y) \] abbiamo che la funzione \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)) \) è una funzione continua in quanto moltiplicazione di funzioni continue pertanto siccome per ipotesi abbiamo che \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(0)) < 0 \) e \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(1)) > 0 \) per il teorema dei valori intermediari abbiamo che esiste un \( a \in ]0,1[ \) tale che \( \det(\operatorname{D}(\psi \circ \gamma)(a)) = 0 \) e questo contraddice l'ipotesi che \( \psi \) è un diffeomorfismo, poiché abbiamo trovato un \( U \supset \Gamma \ni z = \gamma(a) \) tale che \( \det(\operatorname{D}\psi(z)) = 0 \)
Dunque se \( U \) è connesso per archi allora \( \psi \) preserva l'orientazione o rovescia l'orientazione.
2) Non ho idea, suggerimenti?
Risposte
Il 2 secondo me è molto più facile di quello che sembra. Prendi \(U=U_1\cup U_2\), dove \(U_1, U_2\) sono due palle aperte dello stesso raggio ma disgiunte. (O puoi prendere due rettangoli aperti, come vuoi). Considera la mappa \(\psi\) che applica \(U_1\) su \(U_2\) preservando l'orientazione e \(U_2\) su \(U_1\) rovesciando l'orientazione.
"dissonance":
Il 2 secondo me è molto più facile di quello che sembra. Prendi \(U=U_1\cup U_2\), dove \(U_1, U_2\) sono due palle aperte dello stesso raggio ma disgiunte. (O puoi prendere due rettangoli aperti, come vuoi). Considera la mappa \(\psi\) che applica \(U_1\) su \(U_2\) preservando l'orientazione e \(U_2\) su \(U_1\) rovesciando l'orientazione.
Il problema probabilmente è che non riesco a visualizzare (intuitivamente) cosa vuol dire preservare l'orientazione o rovesciarla.
Non è difficile. Prendi il caso lineare in \(\mathbb R^2\); una applicazione lineare invertibile di \(\mathbb R^2\) in sé manda \(e_1=(1, 0), e_2=(0,1)\) in due vettori \(v_1, v_2\) linearmente indipendenti. Ora, nota che se metti il pollice su \(e_1\), puoi mettere l'indice su \(e_2\). Quindi, metti il pollice su \(v_1\). Se puoi mettere l'indice su \(v_2\), allora la mappa preserva l'orientazione. Se non puoi, vuol dire che la mappa rovescia l'orientazione.
Esempio di mappa che preserva l'orientazione: una rotazione.
Esempio di mappa che rovescia l'orientazione: una riflessione.
Esempio di mappa che preserva l'orientazione: una rotazione.
Esempio di mappa che rovescia l'orientazione: una riflessione.
Ah grazie, così è più chiaro!
Prego. In dimensione tre, una mappa lineare preserva l'orientazione se applica tre vettori orientati come le prime tre dita della mano destra in tre vettori orientati come le dita della stessa mano.
"dissonance":
Prego. In dimensione tre, una mappa lineare preserva l'orientazione se applica tre vettori orientati come le prime tre dita della mano destra in tre vettori orientati come le dita della stessa mano.
Ma domanda, in dimensione tre, non preserva l'orientazione se almeno uno dei tre vettori orientati come le tre dita della mano destra vengono inviati su tre vettori orientati in modo differente (1 e/o 2)?
Non ho capito la domanda. In ogni caso ricordati che l'arbitro finale di queste cose è sempre il determinante. I tre esempi fondamentali sono
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,& \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,& \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .
\end{array}\]
La prima e l'ultima matrice conservano l'orientazione, l'altra la inverte.
L'ultima matrice inverte due vettori su tre, e quindi l'effetto totale è che l'orientazione si conserva. La seconda matrice inverte solo uno dei tre vettori e quindi inverte l'orientazione; in altre parole, trasforma le tre dita della mano destra nelle tre dita della mano sinistra.
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,& \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,& \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .
\end{array}\]
La prima e l'ultima matrice conservano l'orientazione, l'altra la inverte.
L'ultima matrice inverte due vettori su tre, e quindi l'effetto totale è che l'orientazione si conserva. La seconda matrice inverte solo uno dei tre vettori e quindi inverte l'orientazione; in altre parole, trasforma le tre dita della mano destra nelle tre dita della mano sinistra.
Anche se non hai capito la mia domanda mi hai risposto, grazie!
"dissonance":
L'ultima matrice inverte due vettori su tre, e quindi l'effetto totale è che l'orientazione si conserva.
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