Teorema d'inversione locale

[Studente Anonimo]

Il prof ci ha lasciato la fine della dimostrazione del teorema d'inversione locale per esercizio, ma non so come continuare avete dei suggerimenti?
Enunciato Thm: Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) aperto e non vuoto e \( f \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^n) \) e \( x_0 \in E\)
Se \( \operatorname{D}f(x_0) \) è invertibile allora \( f \) è un diffeomorfismo locale in \( x_0 \).
Inoltre \( g:=f^{-1} \) è \( \mathcal{C}^1 \) e \( \operatorname{D}g(f(x_0)) = (\operatorname{D}f(x_0))^{-1} \)

Dimostrazione (parziale):
Primo punto: costruiamo l'applicazione inversa, \( \exists ? x \) tale che \( f(x)=y \) e data \( y \) vicina a \( y_0 \) è l'equazione \( f(x)=y \) una soluzione unica in un intorno di \( x_0 \) ?
\( f(x)=y \Leftrightarrow x = \phi^{y}(x) \), dove \( \phi^{y}(x)=x - \operatorname{D}f(x_0)^{-1}(f(x)-x_0) \)
\( \operatorname{D}\phi^{y}(x) = id - \operatorname{D}f(x_0)^{-1}\operatorname{D}f(x) \Rightarrow \operatorname{D}\phi^{y}(x_0)=0 \in \mathbb{R}^{n \times n} \Rightarrow \frac{\partial \phi_i^{y}}{\partial x_j} (x_0)=0 \)
\( \phi^{y} \in \mathcal{C}^1 \) visto che \( f \in \mathcal{C}^1 \) e \( x \in \mathcal{C}^{\infty} \)
\( (\forall \varepsilon) \) e dunque scegliamo \( \varepsilon = \frac{1}{2n} \) abbiamo che \( \exists r>0 : \forall x \in \bar{B}(x_0,r) \) risulta che \( \begin{vmatrix}\frac{\partial \phi_i^{y}}{\partial x_j} (x) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2n} \)
\( \Rightarrow \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\phi^{y}(x) \end{Vmatrix}_F = \sqrt{ \sum\limits_{i,j} (\frac{\partial \phi_i^{y}}{\partial x_j} (x))^2 } \leq \frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\phi^{y}(x) \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\phi^{y}(x) \end{Vmatrix}_F \leq \frac{1}{2} \)

Dimostriamo che \( \phi^{y} \) è una contrazione su \( \bar{B}(x_0,r) \)
\( \forall x_1, x_2 \in \bar{B}(x_0,r) \) abbiamo
\[ \phi^{y}(x_1) - \phi^{y}(x_2) = \int_{0}^{1} \operatorname{D}\phi^{y}(x_2 + t(x_1-x_2))(x_1-x_2) dt \]
\[ \Rightarrow \begin{Vmatrix} \phi^{y}(x_1) - \phi^{y}(x_2)\end{Vmatrix} \leq \int_{0}^{1}\begin{Vmatrix} \operatorname{D}\phi^{y}(x_2 + t(x_1-x_2))(x_1-x_2) \end{Vmatrix}dt \leq \frac{1}{2} \begin{Vmatrix}x_1-x_2 \end{Vmatrix} \]

Verifichiamo che \( \phi^{y}(\bar{B}(x_0,r)) \subset \bar{B}(x_0,r) \)
\( \forall x \in \bar{B}(x_0,r) \), \( \phi^{y}(x) \in \bar{B}(x_0,r) \Leftrightarrow \begin{Vmatrix} \phi^{y}(x) -x_0 \end{Vmatrix} \leq r \)

Dunque
\( \begin{Vmatrix} \phi^{y}(x) - x_0\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \phi^{y}(x) - \phi^{y}(x_0)\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix} \phi^{y}(x_0) - x_0\end{Vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{Vmatrix} x- x_0\end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} \operatorname{D}f(x_0)^{-1}(f(x_0)-y) \end{Vmatrix} \)
\(\begin{Vmatrix} \phi^{y}(x) - x_0\end{Vmatrix} \leq \frac{r}{2} + \begin{Vmatrix} \operatorname{D}f(x_0)^{-1}\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix}(y_0-y) \end{Vmatrix} \)

Se \( y \in B(y_0, \frac{r}{ \begin{Vmatrix} \operatorname{D}f(x_0)^{-1}\end{Vmatrix} } ) \), \( \tilde{r} := \begin{Vmatrix} \operatorname{D}f(x_0)^{-1} \end{Vmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{Vmatrix} \phi^{y}(x) - x_0\end{Vmatrix} < r \)
Per il teorema di contrazione di Banach abbiamo
\( \forall y \in B(y_0,\tilde{r} ) \Rightarrow \exists! x \in B(x_0, r) \) tale che \( x=\phi^{y}(x) \Leftrightarrow f(x)=y \)
...
continuare

[Studente Anonimo]

Sono cose abbastanza tediose da scrivere. Se ti accontenti di un riferimento, vedi qui a pagina 99 (oppure nell'Ambrosetti-Prodi o ancora nel libro di Arrigo Cellina Methods of Nonconvex Analysis).

[dissonance]

Il professore ha dimostrato che l'applicazione inversa esiste. (Applicazione inversa = soluzione \(x=g(y)\) dell'equazione \(f(x)=y\)). Ora devi mostrare che essa è differenziabile e che \(Dg(y_0)=(Df(x_0))^{-1}\). Parti dalla definizione di differenziabilità di \(f\);
\[
f(x)=f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0), \]
e moltiplica il tutto per \(Df(x_0)^{-1}\).