Analisi matematica di base

Dire se converge la seguente serie: $ sum[sen(sen(n))]^ n $. Ho difficoltà sia nel verificare la condizione necessaria sia nell'utilizzare il criterio della radice in quanto in entrambi i casi non sono in grado di risolvere il limite per $ n->\infty $. Ho poi un altro dubbio: quando nel termine generale di una serie ho un $ logn $ in forma semplice, solitamente sfrutto la relazione $ logn<\sqrtn $ per poi usare il teorema del confronto. Ad esempio $ \frac{logn}{n^2}<\frac{sqrtn}{n^2}=\frac{1}{n^(3/2} $. Quello che mi ...

Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi con la risoluzione di questo limite. Ho difficoltà a capire cosa fare in presenza di radici al numeratore, ho questo limite che non riesco a risolvere: $(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5)) / (2x + 5)$ come dovrei comportarmi?

Buonasera; sono nuova nel forum, pertanto mi scuso per eventuali imprecisioni. Il mio quesito riguarda la verifica dei criteri di esistenza ed unicità per equazioni differenziali. Nello svolgimento di un problema di Cauchy, il mio professore verifica innanzitutto la continuità della funzione, e successivamente la Lipschitzianetà locale. Si può , in luogo di quest'ultima, verificare semplicemente che la derivata di F(t,y) rispetto ad y sia continua? Inoltre, se verifico che tali condizioni sono ...

Ciao, mi potreste dire i massimi e minimi di questa funzione: $f(x) = sqrt((pi/4)x - cotan(x))$

Buongiorno ragazzi Mi sto da poco cimentando con i problemi di ottimizzazione con vincoli rilassati ma in ogni esercizio che ho provato a risolvere finisco sempre col bloccarmi al momento di risolvere il sistema. Vi propongo questo esercizio: Data $ f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2+1) $, trovare massimi e minimi nel triangolo $ T={(x,y)in RR^2|3x+2y<=7} $. Inizio con l'ottimizzazione libera. Calcolate le derivate parziali e poste a sistema ottengo come unico punto stazionario $ P_1=(0,0) $ il quale, tramite ...

$ int ln((x+1)/(x+3)) dx =(x+1)(ln(x+1)-1)-((x+3)(ln(x+3)-1)+c $ il risultato che ottengo è corretto? grazie!

Salve a tutti, vorrei dei chiarimenti e delle conferme/smentite sul secondo punto di questo teorema. Sia $f$ una funzione continua e periodica in $[-\pi,\pi]$. Supponiamo che i coefficienti di Fourier di $f$, dati da $c_n(f) := \langle f,e_n \rangle$ siano tali che $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n| < +\infty$$ Allora 1) La serie di funzioni periodiche su $[-\pi,\pi]$ $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n ...

Ciao a tutti, ho questo esercizio che proprio non so come affrontare. Determinare gli insiemi $E,F sube RR$ degli $x$ tali che le serie numeriche $A(x)=\sum_{n=0}^infty 2^n cos^n x, B(x)=\sum_{n=1}^infty (-1)^n (3^(nx))/sqrt(n^3 +1)$ siano convergenti, rispettivamente, in $E$ e in $F$, precisando per quali valori di $x$ la convergenza è assoluta. Calcolare poi la somma di $A(x)$, al variare di $x$. Per la serie $A(x)$ per verificarne la convergenza ho utilizzato il ...

Ciao a tutti, sto avendo difficoltà a far coincidere quanto detto dal professore a lezione con quanto scritto sul libro (Guerraggio-Salsa, Metodi matematici). Il docente ha definito le equazioni alle differenze del I° ordine come equazioni espresse nella forma $ x_(N+1)=Ax_N+B $ , il che coincide con quanto scritto sul libro a meno della notazione utilizzata. Tuttavia a lezione ci è stato spiegato che è possibile risalire alla dinamica di $x_N$ semplicemente ricorrendo alla formula ...

Ciao! Sia \( f \) una funzione da un sottoinsieme \( X \) dei reali in \( \mathbb{R} \), periodica. Se \( \tau \) è un suo periodo positivo, il comportamento della funzione si può dedurre dalla conoscenza delle immagini in un singolo intervallo semiaperto[nota]In realtà dovremmo parlare dell'intersezione di tale intervallo con \( X \): specificarlo di nuovo in quanto segue appesantirebbe troppo, quindi ometto.[/nota] del tipo \( R=\left[a,a+\tau\right] \), con \( a\in X \): questo significa che ...

Ciao, avrei un piccolo dubbio sulla monotonia di questa funzione: $f(x) = 1/cosx - 1 - sinx$ per $ x in (-pi/2,pi/2)$. Faccio come di consueto la derivata prima: $f’(x) = (sinx - cos^3 x)/(cos^2 x)$ studio il segno della derivata imponendo $f’ (x) > 0$ e quindi basta che $sin x > cos^3x$, che non è sicuramente vero per $x in (-pi/2,0]$ dove $f$ sarà così decrescente. Considero quindi solo l'intervallo $(0,pi/2)$. Sia $g(x) = sinx - cos^3x $; faccio la derivata prima di ...

Ciao ragazzi, devo trovare studiare il carattere della serie $ Sigma_{n=1}^{oo}[log(1+\frac{1}{n^alpha})-\frac{1}{n}], \ \ \alpha in R $ Ho trovato che il termine generale è definitivamente negativo o nullo e che la serie diverge per $ alpha <= 0 $ perché non soddifsfa la condizione necessaria di convergenza. Come studio il caso $ alpha > 0 $ ?

Buongiorno ho la seguente serie numerica, che mi chiede di determinare per quali valori di $x$ la serie numerica risulta essere convergente; $sum_1^infty(x^nlogx^n).$ Procedo cosi: 1. c.e. log. ${x in mathbb{R}: x>0}$ la serie risulta essere una serie a termini positivi, per cui applico il criterio del confronto. Essendo che $logx le x $ per ogni $x > 0$, si ha per induzione $logx^n le x^n$, allora $0 le x^nlogx^n le x^(2n)$ quindi il termine generale della nuova serie è ...

$ int1/(x(log^2(x)-1))dx= $ sostituisco con$ y=log(x) dy=1/x dx$ $ int1/((y^2(x)-1))dy= $ adesso pensavo di chiamare$ z=y^2 dz=2y dy$ qualche consiglio? grazie

salve ho alcuni problemi che riguardano gli integrali di questa forma. $ int_(0)^(π/6) cos(3x) * sin^2(7x) dx $ Grazie per l' aiuto. Ps: Solitamente questa tipologia di integrali la risolvo con le formule di prostaferesi, questo però avendo le potenze non mi porta a poterle usare. Ho provato anche a risolverlo per parti ma riesco solo ad incasinarmi di piu.

Ciao ragazzi, sono alle prese con un esercizio che mi sta dando qualche problema. ${(x''=y+sent),(y''=x+cost):}$ con x e y e le loro derivate seconde ovviamente funzioni di t. I sistemi con eq. del primo ordine non ho particolare difficoltà a farli, ma su questo mi sono fermato quasi subito. O meglio, dopo aver trovato una coppia di soluzioni per il sistema omogeneo associato $x(t)= c_1e^t+c_2e^-t-c_3cost-c_4sent$ $y(t)= c_1e^t+c_2e^-t+c_3cost+c_4sent$ non riesco a trovare una soluzione particolare. Magari mi sto perdendo in un bicchiere ...

Siano due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite e derivabili indefinitivamente su tutto $R$, si abbia che il loro sviluppo di Mclaurin sia il medesimo, ed inoltre le loro derivate risultino equolimitate in ogni $x$, allora le due funzioni sono uguali e coincideranno con lo sviluppo di Mclaurin, é corretto quanto ho asserite, secondo voi? Grazie, resto in attesa di una risposta.

sto seguendo la strada giusta per risolvere questo integrale? se si come proseguo? grazie! $ int x^2cos(x^3) dx =$ $ f=cos(x^3) $ $fprime=-3x^2sen(x^3)$ $g prime=x^2$ $ g= x^3/3 $ $x^3/3cos(x^3)-int-3xsen(x^3)x^3/3 dx =x^3/3cos(x^3)+intxsen(x^3)x^3 dx=x^3/3cos(x^3)+intx^4sen(x^3) dx = $ integro ancora per parti: $f=sen(x^3)$ $ fprime=3x^2cos(x^3)$ $gprime= x^4$ $ g= x^5/5$ $ x^3/3cos(x^3)+intx^4sen(x^3) dx = x^3/3cos(x^3)+(x^5/5sen(x^3)-int3x^2cos(x^3)x^5/5)=x^3/3cos(x^3)+x^5/5sen(x^3)-3/5intx^2cos(x^3)x^5) = $

Buongiorno, vorrei risolvere il seguente quesito: Sia $v:RR \to RR$, $v \in C^1(RR)$, t.c. $v(t) \to 2$ per $t \to \infty$. Ora, quando la seguente eqd ammette una soluzione non globale? $y'(t)= y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$ Ho provato a pensarla così: Sono nelle condizioni di esistenza e unicità locale, grazie alla continuità anche della derivata di $v$. Avendo soluzioni stazionarie globali $y(t)=0$, $y(t)=1$, devo cercare soluzioni globali in ...

Ciao! Sto cercando di risolvere questo esercizio: $ { ( y'(x)= ((y(x))^6-7)/(y(x))^5),( y(0)=k ):} $ Dire per quali $k in RR$ so ha soluzione, precisando per quali $k in RR$ si ha soluzione non costante definita su tutto $R$. Allora ho soluzioni costanti, $y=+-root(6)(7) $. Per $y!=+-root(6)(7)$ ho che: $ int y^5/(y^6-7)dy= x+c $ $1/6log|y^6-7|=x+c$ $|y^6-7|=ce^(6x)$ $ { ( y(x)=+- root(6)(7+ce^(6x)) ),( y(x)=+- root(6)(7-ce^(6x)) ):} $ rispettivamente per $ { ( y>=root(6)(7) y<=-root(6)(7) ),( -root(6)(7)<y<root(6)(7) ):} $ Dalla condizione in $0$ ottengo $ { ( k=+-root(6)(7+c) ),( k=+-root(6)(7-c) ):} $ ma da ...