Successione di funzioni

[lepre561]

Studiare convergenza puntuale e uniforme della seguente successione

$f_n(x)=nx^2e^(-nx^2)$. $xinR$

Per prima cosa impongo per vedere se converge puntualmente $lim_(nto+infty) f_n(x)=0$

In effetti fa proprio 0 portando l'esponenziale al denominatore e quindi per la gerarchia degli infiniti vale quanto detto. Avremo dunque che la serie converge puntualmente

Il problema viene sulla convergenza uniforme

Impongo che $lim_(nto+infty) Sup |f_n(x)-f(x)|=0$

Per waistarass siccome la funzione è continua possiamo imporre

$lim_(nto+infty) max f_n(x)$

Calcolando la derivata rispetto ad n ottengo che il massimo della mia è $x=sqrt(1/n)$

Ottenuto da questo $(x^2(e^(nx^2))-nx^2(e^(nx^2)x^2))/(e^(nx^2))^2)$

Andando a sostituire $x=sqrt(1/n)$ all'interno della mia $f_n(x)$ ottengo $e^(-1)$ e facendo il limite per $nto+infty$ ottengo che la serie non converge uniformemente perché i limiti non corrispondono


C'è qualcosa di giusto in quello che ho scritto?

[lepre561]

E quindi dovrei calcolare la funzione anche in $x=-1/sqrtn$

[lepre561]

Non ho capito che significa se $x=0$?

[dissonance]

"lepre561":Non ho capito che significa se $x=0$?

Per corroborare quanto detto da arnett, ti chiedo un favore. Per favore, calcola il limite puntuale della successione di funzioni
\[
g_n(x)=ne^{-n x^2}.\]
È molto simile a quella della traccia, ma non c'è il fattore \(x^2\).

Se mi fai questo favore, sarà evidente quello che arnett vuole dire.

[lepre561]

E non viene sempre che converge puntualmente?
Cioè non vedo cosa cambi...