Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno,
Sono alle prese, purtroppo in qualità di studente lavoratore, con il teorema riportato nel titolo della discussione, ovvero:
ax congruent b (mod n)
Nelle dispense dalle quali sto studiando matematica discreta trovo quanto segue (così come in altre risorse in rete):
"L’equazione ax ≡n b ammette soluzioni se e solo se il massimo comune divisore d di a e n divide b."
svolgendo alcuni esercizi per esercitarmi (generati casualmente con l'ausilio di wolfram) mi sono imbattuto in
11x ...
Salve, stavo provando a dimostrare questo risultato e sono quasi sicuro che il mio ragionamento vada bene ma mi resta un dubbio su un passaggio.
Sia $K$ campo, $f\inK[x]$ polinomio separabile con fattore irriducibile $g$. Provare che $G=Gal(f//K)$ è transitivo sulle radici di $g$.
Il mio ragionamento è questo.
Considero la torre $K->K(\alpha)->E$, con $E$ campo di spezzamento di $f$. Prendo ...
Ho il quoziente $(Z_2[x])/(((x+1)^3))$ e mi viene chiesto di trovare l'inverso di $x^2 + I$ dove $I= ((x+1)^3))$
Ho svolto la divisione euclidea tra il generatore e $x^2$ ma ottengo come resto soltanto $x+1$ che è il rappresentante di un divisore dello zero e non è invertibile nel mio anello. Non avrei dovuto ottenere, come ultimo resto diverso da zero, 1 o un elemento ad esso associato? In questo caso come faccio a trovare l'inverso ?
Il mio dubbio è il seguente: perchè quando si scrive la tabella per l'operazione di moltiplicazione ad esempio in Z5 si moltiplicano tra di loro le classi da 1 a 4 con se stesse ma non da 0 a 4 come per l'operazione di addizione? Nel mio libro vi è scritto che la relazione di congruenza modulo n è compatibile con l'operazione di moltiplicazione in Z e per questo è possibile definire su Zn l'operazione indotta. Ma Zn in questo caso specifico Z5 comprende tutte le n classi da 0 a 4. Quindi ...
Ciao ragazzi, non riesco a trovare una risposta chiara alla mia domanda, avendo questo esercizio:
Sia $ A = {2, 4, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 48}$, e si consideri l’insieme ordinato $(A, | )$, dove $|$ denota
la relazione del divide tra numeri naturali.
Motivando la risposta, si stabilisca se (A, | ) è ben ordinato.
Si determinino tutti gli elementi minimali e massimali di (A, | ), e gli eventuali minimo e massimo.
Ora, per trovare un minimale, devo trovare un elemento di A tale che non esista ...
Salve, non so come procedere con un esercizio di esame di questo tipo.
Descrivendo il procedimento utilizzato, si stabilisca quanti sono i numeri interi positivi ≤ 500 e divisibili per almeno uno tra 6, 10 e 25 ?
Mi date un aiuto?
Salve, ho un dubbio riguardo a questo esercizio.
Si determinino tutte le soluzioni positive dell'equazione congruenziale
$84x≡68 (mod 400)$
Ho calcolato il Massimo Comune Divisore tra 84 e 400 ed è 4. 68 è divisibile per 4 quindi l'equazione ammette soluzioni. Ora non so come calcolare le soluzioni, ho controllato su internet e dal libro ma non mi è chiaro il procedimento. Potete aiutarmi?
Ciao a tutti,
non riesco a completare un esercizio sui polinomi.
"Sia $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k*x^k in \mathbb Z[X]$ un polinomio. Se esiste un numero primo p ed un numero intero m, con $1<=m<=n$, tali che: $p|a_0, a_1,...,a_{m-1}$, p non divisore di $a_m$ e $p^2$ non divisore di $a_0$.
Si mostri che P ha un fattore irriducibile di grado $d>=m$."
Mia soluzione:
Caso $m=n$:
Considero il teorema di Eisenstein. Dobbiamo in aggiunta solo dimostrare che un ...
In $(Z_3[x])/ ((f(x)))$ con $f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$, stabilire se $x^3 + (f(x))$ è invertibile e determinarne l'inverso. Io ho fattorizzato f(x) nei suoi fattori irriducibili e visto che $x^3$ non era tra questi, ho dedotto che fossero coprimi. Poi per trovare l'inverso ho eseguito la divisione euclidea tra $f(x)$ e $x^3$ , ma come resto ho ottenuto $x^2 + 1$ anziché 1. Suppongo sia un elemento associato ad 1, ma non so come provarlo, visto che non conosco ...
Buongiorno,
ho alcuni problemi a capire come calcolare questo quoziente di insiemi:
$\frac{\mathbb{Z}<a> \oplus \mathbb{Z}<b> \oplus \mathbb{Z}<c> \oplus \mathbb{Z}<d>}{\mathbb{Z}<2a+2b+c+d>}$.
Il testo dice che questo è uguale a $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$.
Potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie in anticipo!
Durante il corso abbiamo dimostrato che in un anello $A$ unitario di caratteristica $c$, $c=0$ oppure $c = min{ n in NN : na = 0, AA a in A}$
Quindi ciò significa che se la caratteristica è $c$, tutti gli altri elementi avranno periodo $c$, che in notazione additiva è proprio il minimo intero tale che moltiplicato per l'elemento, dia zero. Tuttavia, in $Z_3 x Z_2$ la caratteristica è 6 ma $(1, 0)$ ha periodo 3. Infatti ho letto su ...
Buongiorno! Volevo chiedere, so che la domanda potrebbe essere molto generica ma, come si fa a capire se un gruppo è ciclico? So che devo riuscire a vedere se ogni elemento è determinabile come potenza (o prodotto) di un elemento appartenente al gruppo. Ma ad esempio data un gruppo di matrici come si fa a capire se questo gruppo è ciclico? Ipotizzando una matrice 2x2 in cui ogni elemento ha un periodo diverso. Vero che questo gruppo non è ciclico?
Ciao, ho un problema.
Si consideri l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5}. Fornire una risposta alla domanda seguente,
motivandola adeguatamente.
• Quante sono le possibili relazioni di equivalenza R su A tali che 1 R 5, 3 R 4 e 5 R/ 4 ?
R/ sta ad indicare R sbarrato.
Il numero delle relazioni di equivalenza è dato da $2^n$ dove n è l'ordine dell'insieme. In questo caso abbiamo quindi 32 relazioni di equivalenza. Come faccio a trovare quei casi? Cosa significano? Grazie in anticipo.
Salve, sto avendo vari problemi con questo esercizio.
Si consideri l'applicazione:
$f : x ∈ Z → 4 − x ∈ Z$
• Si dimostri che f è biettiva
Per dimostrare che un'applicazione è biettiva si deve dimostrare sia che è iniettiva che suriettiva.
L'iniettività l'ho dimostrata così:
$4-x=4-y$
$x=y$
Quindi essendo $x=y$, l'applicazione è iniettiva (non so se è corretto).
Per la suriettività avevo pensato di scrivere:
$∀ x ∈ Z ∃ x ∈ Z | f(x) = Z$
Anche qui non so se va bene.
Buongiorno a tutti ragazzi,
a breve avrò l'esame di matematica discreta e ho notevoli difficoltà a capire questo argomento.
Nello specifico, ho capito la definizione di sottogruppo e i criteri per determinare se un sottoinsieme sia definibile tale, ma sono bloccato alla definizione di laterale sinistro/destro di un sottogruppo, nozioni che nel corso delle dispense diventano fondamentali per capire il teorema di Lagrange.
Premetto che prima di aprire questa discussione ho già visitato altri ...
Ho seguito un ragionamento non-lineare per arrivare a questa domanda, tra l'altro partendo dalla biologia (riguardava la diffusione facilitata).
La domanda nasce anche perchè nella risoluzione di un' integrale ho notato che quando si va a fare l' integrale di un prodotto si tende ad 'eliminare' il simbolo dell' integrale restituendo il valore finale. Ma quella 'tecnica' di risoluzione mi ha posto alcune domande piu profonde perchè quel cambio di notazione, nella mia ipotesi, deve riflettere ...
Quante sono le permutazioni di S10 che hanno periodo 8? Se (sigma) è una di esse, quanti sottogruppi ha il sottogruppo generato da (sigma)?
Ho il seguente esercizio:
Dimostrare che $QQ(π)$ e $QQ(e)$ sono isomorfi. (suggerimento: Usare il fatto che $π$ ed $e$ sono trascendenti in $CC$)
Ho provato a riflettere sul fatto che questi siano trascendenti ma l'unico teorema che mi viene in mente da poter sfruttare in qualche modo e' che se un elemento e' trascendente allora $QQ[π]$ e $QQ[x]$ sono isomorfi ma in questo caso ho $QQ(π)$ e non ...
Dato un omomorfismo $f$ di $(G,*)$ in $(G', \star)$ mi si chiede di provare che
i) $f(G)={f(a): a \in G}$ è un sottogruppo di $G'$;
ii) $f$ è suriettivo se e solo se $f(G)$ eguaglia $G'$.
Per quanto concerne la i) abbiamo che per ogni elemento $a \in G$, $f(a) \in G'$ pertanto sicuramente $f(G)={f(a): a \in G} \subseteq G'$ e la legge associativa vale in $G'$ perciò vale certamente in $f(G)$ che è un ...
Salve ragazzi, mi aiutate a capire il ragionamento per risolvere questo quesito? Quante terne ordinate di interi positivi (x,y,z) soddisfano : $ (x^y)^z=64 $. Grazie.
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