Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
vorrei chiedervi aiuto per il seguente esercizio:
"Sia K un campo. Si mostri che ogni sottogruppo finito di $L:=(K -{0} ,*,1)$ è ciclico"
Mio problema
Avendo saltato delle lezioni per malattia, non riesco a capire cosa si intenda con il numero 1 dentro la parentesi. Essendo K un campo mi aspetto di avere due operazioni: una è la moltiplicazione, e con il numero 1 cosa si intende?
Ciao a tutti, sto studiando le identità legate ai numeri di Fibonacci, in particolare devo dimostrare la seguente proprietà algebricamente:
$$F_{m+(t+1)p}=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}F_{t+1}^iF_{t}^{p-i}F_{m+i}$$
Qualcuno mi sa dare due dritte su come partire? Ho provato riscrivendo i numeri di Fibonacci con la formula di Binet ma non ne sono venuta a capo. Per completezza la formula di Binet è la ...
Ciao a tutti.
Il mio professore spiega l'operatore di Householder, che indica con
$\hat H$ $=$ $\hat E$ $-$ $2|w><w|$
e dice che la trasformazione deve prendere un vettore $|x>$ e trasformarlo in un altro vettore $|y>$ che però ha stessa norma di $|x>$, dato che $\hat H$ è unitario:
$\hat H$ $|x>$ $=$ $|y>$
Quello che non capisco è il modo in ...
Ciao a tutti,
volevo chiedere se qualcuno potesse spiegarmi esattamente cosa significa questa espressione che leggo spesso, ossia quando e' che, data un'estensione $K/F$ di campi, si ha che un $F$-omomorfismo fattorizza attraverso una chiusura di $K$?
Cito un esempio in cui trovo questo termine per contestualizzare il mio problema:
Sia $K/F$ un'estensione di campi di numeri, vale $|Hom_F(K)| = [K : F]$ e questi ...
Buonasera a tutti, ho il seguente esercizio:
"Sia k un campo. I seguenti k[X]-moduli hanno k-dimensione finita. Indicare una base e determinare la matrice rappresentativa per la moltiplicazione per X rispetto a questa base:
(a) $(k[x])/(x^4)$
(b) $(k[x])/(x^2) × (k[x])/(x^2)$;
(c) $(k[x])/(x) × (k[x])/(x + 1) × (k[x])/(x+2) × (k[x])/(x +3)$
Il mio professore ha fatto un esempio in classe su questo genere di esercizi, ora ve lo posto:
$M= (k[x])/(x-3) × (k[x])/(x-2)^2$, avendo dimensione 3 sara' una matrice $3x3$ trovo una ...
Buongiorno,
Sono alle prese, purtroppo in qualità di studente lavoratore, con il teorema riportato nel titolo della discussione, ovvero:
ax congruent b (mod n)
Nelle dispense dalle quali sto studiando matematica discreta trovo quanto segue (così come in altre risorse in rete):
"L’equazione ax ≡n b ammette soluzioni se e solo se il massimo comune divisore d di a e n divide b."
svolgendo alcuni esercizi per esercitarmi (generati casualmente con l'ausilio di wolfram) mi sono imbattuto in
11x ...
Salve, stavo provando a dimostrare questo risultato e sono quasi sicuro che il mio ragionamento vada bene ma mi resta un dubbio su un passaggio.
Sia $K$ campo, $f\inK[x]$ polinomio separabile con fattore irriducibile $g$. Provare che $G=Gal(f//K)$ è transitivo sulle radici di $g$.
Il mio ragionamento è questo.
Considero la torre $K->K(\alpha)->E$, con $E$ campo di spezzamento di $f$. Prendo ...
Ho il quoziente $(Z_2[x])/(((x+1)^3))$ e mi viene chiesto di trovare l'inverso di $x^2 + I$ dove $I= ((x+1)^3))$
Ho svolto la divisione euclidea tra il generatore e $x^2$ ma ottengo come resto soltanto $x+1$ che è il rappresentante di un divisore dello zero e non è invertibile nel mio anello. Non avrei dovuto ottenere, come ultimo resto diverso da zero, 1 o un elemento ad esso associato? In questo caso come faccio a trovare l'inverso ?
Il mio dubbio è il seguente: perchè quando si scrive la tabella per l'operazione di moltiplicazione ad esempio in Z5 si moltiplicano tra di loro le classi da 1 a 4 con se stesse ma non da 0 a 4 come per l'operazione di addizione? Nel mio libro vi è scritto che la relazione di congruenza modulo n è compatibile con l'operazione di moltiplicazione in Z e per questo è possibile definire su Zn l'operazione indotta. Ma Zn in questo caso specifico Z5 comprende tutte le n classi da 0 a 4. Quindi ...
Ciao ragazzi, non riesco a trovare una risposta chiara alla mia domanda, avendo questo esercizio:
Sia $ A = {2, 4, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 48}$, e si consideri l’insieme ordinato $(A, | )$, dove $|$ denota
la relazione del divide tra numeri naturali.
Motivando la risposta, si stabilisca se (A, | ) è ben ordinato.
Si determinino tutti gli elementi minimali e massimali di (A, | ), e gli eventuali minimo e massimo.
Ora, per trovare un minimale, devo trovare un elemento di A tale che non esista ...
Salve, non so come procedere con un esercizio di esame di questo tipo.
Descrivendo il procedimento utilizzato, si stabilisca quanti sono i numeri interi positivi ≤ 500 e divisibili per almeno uno tra 6, 10 e 25 ?
Mi date un aiuto?
Salve, ho un dubbio riguardo a questo esercizio.
Si determinino tutte le soluzioni positive dell'equazione congruenziale
$84x≡68 (mod 400)$
Ho calcolato il Massimo Comune Divisore tra 84 e 400 ed è 4. 68 è divisibile per 4 quindi l'equazione ammette soluzioni. Ora non so come calcolare le soluzioni, ho controllato su internet e dal libro ma non mi è chiaro il procedimento. Potete aiutarmi?
Ciao a tutti,
non riesco a completare un esercizio sui polinomi.
"Sia $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k*x^k in \mathbb Z[X]$ un polinomio. Se esiste un numero primo p ed un numero intero m, con $1<=m<=n$, tali che: $p|a_0, a_1,...,a_{m-1}$, p non divisore di $a_m$ e $p^2$ non divisore di $a_0$.
Si mostri che P ha un fattore irriducibile di grado $d>=m$."
Mia soluzione:
Caso $m=n$:
Considero il teorema di Eisenstein. Dobbiamo in aggiunta solo dimostrare che un ...
In $(Z_3[x])/ ((f(x)))$ con $f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$, stabilire se $x^3 + (f(x))$ è invertibile e determinarne l'inverso. Io ho fattorizzato f(x) nei suoi fattori irriducibili e visto che $x^3$ non era tra questi, ho dedotto che fossero coprimi. Poi per trovare l'inverso ho eseguito la divisione euclidea tra $f(x)$ e $x^3$ , ma come resto ho ottenuto $x^2 + 1$ anziché 1. Suppongo sia un elemento associato ad 1, ma non so come provarlo, visto che non conosco ...
Buongiorno,
ho alcuni problemi a capire come calcolare questo quoziente di insiemi:
$\frac{\mathbb{Z}<a> \oplus \mathbb{Z}<b> \oplus \mathbb{Z}<c> \oplus \mathbb{Z}<d>}{\mathbb{Z}<2a+2b+c+d>}$.
Il testo dice che questo è uguale a $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$.
Potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie in anticipo!
Durante il corso abbiamo dimostrato che in un anello $A$ unitario di caratteristica $c$, $c=0$ oppure $c = min{ n in NN : na = 0, AA a in A}$
Quindi ciò significa che se la caratteristica è $c$, tutti gli altri elementi avranno periodo $c$, che in notazione additiva è proprio il minimo intero tale che moltiplicato per l'elemento, dia zero. Tuttavia, in $Z_3 x Z_2$ la caratteristica è 6 ma $(1, 0)$ ha periodo 3. Infatti ho letto su ...
Buongiorno! Volevo chiedere, so che la domanda potrebbe essere molto generica ma, come si fa a capire se un gruppo è ciclico? So che devo riuscire a vedere se ogni elemento è determinabile come potenza (o prodotto) di un elemento appartenente al gruppo. Ma ad esempio data un gruppo di matrici come si fa a capire se questo gruppo è ciclico? Ipotizzando una matrice 2x2 in cui ogni elemento ha un periodo diverso. Vero che questo gruppo non è ciclico?
Ciao, ho un problema.
Si consideri l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5}. Fornire una risposta alla domanda seguente,
motivandola adeguatamente.
• Quante sono le possibili relazioni di equivalenza R su A tali che 1 R 5, 3 R 4 e 5 R/ 4 ?
R/ sta ad indicare R sbarrato.
Il numero delle relazioni di equivalenza è dato da $2^n$ dove n è l'ordine dell'insieme. In questo caso abbiamo quindi 32 relazioni di equivalenza. Come faccio a trovare quei casi? Cosa significano? Grazie in anticipo.
Salve, sto avendo vari problemi con questo esercizio.
Si consideri l'applicazione:
$f : x ∈ Z → 4 − x ∈ Z$
• Si dimostri che f è biettiva
Per dimostrare che un'applicazione è biettiva si deve dimostrare sia che è iniettiva che suriettiva.
L'iniettività l'ho dimostrata così:
$4-x=4-y$
$x=y$
Quindi essendo $x=y$, l'applicazione è iniettiva (non so se è corretto).
Per la suriettività avevo pensato di scrivere:
$∀ x ∈ Z ∃ x ∈ Z | f(x) = Z$
Anche qui non so se va bene.
Buongiorno a tutti ragazzi,
a breve avrò l'esame di matematica discreta e ho notevoli difficoltà a capire questo argomento.
Nello specifico, ho capito la definizione di sottogruppo e i criteri per determinare se un sottoinsieme sia definibile tale, ma sono bloccato alla definizione di laterale sinistro/destro di un sottogruppo, nozioni che nel corso delle dispense diventano fondamentali per capire il teorema di Lagrange.
Premetto che prima di aprire questa discussione ho già visitato altri ...
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