Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ho trovato questo esempio: Suppose that G = S4, the group of permutations on the set S = {1, 2, 3, 4}. We illustrate the action of G on S as in the following examples: $(a) (12)(34).3 = 4$ $(b) (12)(34).2 = 1$ $(c) (1234).2 = 3$ $(d) (132)(12).2 = 3$ $(e) (132)(12).4 = 4$ Finalmente, abbiamo un esempio di matrici che agiscono su un vettore. Ebbene non capisco come sono arrivati, per esempio, a dire che $(c) (1234).2 = 3$ Grazie in anticipo

Buongiorno, Sia $ (S,le) $ un insieme totalmente ordinato , e sia $ F $ un insieme non vuoto di parti non vuote si $ S $ tale che $ S=bigcup_{X in F} X $ che la relazione d'ordine indotta da $ le $ su ogni elemento di $ F $ si una relazione di buon ordine. Si supponga inoltre che, se $ X, Y $ sono elementi distinti di $ F $, X è un segmento di $ Y $ oppure $ Y$ è un segmento di $ X $ . ...

Buongiorno a tutti chiedo una mano o quantomeno un'idea per risolvere il seguente esercizio: Mostrare che il gruppo simmetrico $S_4$ possiede: 1) 1 sottogruppo di ordine 12; 2) 4 sottogruppi di ordine 3; 3) 9 sottogruppi di ordine 2; 4) 7 sottogruppi di ordine 4, di cui 3 ciclici; 5) 4 sottogruppi di ordine 6 isomorfi a $S_3$; Infine mostrare che $S_4$ possiede un solo sottogruppo di ordine 12. Ringrazio in anticipo chi risponderà.

Ciao! Stavo classificando i gruppi $G$ di ordine 52 ed è nato un dubbio in questo punto. Stavo studiando il prodotto semidiretto $K rtimes H ~= ZZ_13 rtimes ZZ_4$ con $K$ 13-Sylow normale in $G$ e $H$ 2-Sylow. $1 in ZZ_4$ può andare in $3$ o $6$ in $ZZ_12 ~= Aut(ZZ_13)$ attraverso la $phi$ che definisce il prodotto semidiretto. Per verificare che i due gruppi cosi ottenuti non sono isomorfi volevo studiare il ...

Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di classificare a meno di isomorfismo i gruppi di ordine $20=2^2*5$ Ho indicato con $P_2$ e $P_5$ un 2-Sylow e un 5-Sylow di G. Segue facilmente che il 5-Sylow è sempre normale e che data la cardinalità $P_2 ~= ZZ_4$ o $P_2 ~= ZZ_2 xx ZZ_2$. Per studiare i possibili prodotti semidiretti $G=P_5 rtimes P_2$ studio gli omomorfismi $varphi: P_2 to Aut(P_5) ~= (ZZ_5)^ast$ quest'ultimo ciclico di ordine 4. Se $P_2 ~= ZZ_4=<x>$ e ...

Buonasera, Sia $S$ un insieme non vuoto, e si ponga $G=(x,X) in P*P(S) : x in X $ Provare che la corrispondenza $(S*P(S),G)$ è un'applicazione di $S$ in $P(S)$ se e soltanto se $|S|=1$ Ho provato a risolverlo in questo modo, correggetemi se sbaglio... Se suppongo che esiste la funzione,allora per def, di funzione ho, per ogni $x$ appartenente ad $S$ esisterà un solo elemento $X in P(S)$. Ora se suppongo che esista ...

Buonasera, ho un esercizio che mi chiede di stabilire se l'ideale I di $Z[x]$ e' primo, massimale o nessuno dei due l'ideale $I=(x^2+1,2)$ Io ho fatto in questo modo: controllo se $(Z[x])/I$ e' un campo o un dominio e a quel punto l'esercizio e' finito. Ho percio' considerato $(Z[x])/(x^2+1,2)$=$(Z_2[x])/(x^2+1)$ A questo punto ho che $x^2+1=x^2-1$ trovandomi in $Z_2$ e quindi ho che $x^2-1=(x-1)(x+1)=(x-1)^2$ sempre in $Z_2$ Arrivati a questo punto ...

Testo: Sia $\sigma\inS_7$ la permutazione $\sigma\=((1,2,3,4,5,6,7),(3,4,6,7,5,1,2))$ Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità. Si determini l'ordine del centralizzante $C_(S_7)(\sigma\)$ in $S_7$ di $\sigma$. La mia soluzione parziale è la seguente: -Prodotto di cicli disgiunti: $\sigma_1*\sigma_2=(1,3,6)(2,4,7)$ -Ordine: $o(\sigma\)=m.c.m(l(\sigma_1),l(\sigma_2))=m.c.m.(3,3)=3$. -Parità: $\Delta(\sigma)=\Delta(\sigma_1)*\Delta(\sigma_2)=(1)*(1)=1$. Questo perché cicli di lunghezza dispari sono pari (parità uguale ad ...

Buonasera a tutti, devo dimostrare una proposizione sui gruppi risolubili. Vi scrivo la definizione di gruppo risolubile dataci dal prof: Un gruppo finito $G$ si dice risolubile se ogni sua serie di composizione (o filtrazione di Jordan-Holder) ha fattori di composizione ciclici e di cardinalità un primo So che in realtà la definizione più generale dice che $G$ è risolubile se possiede una serie subnormale i cui fattori sono abeliani ma ...

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio: Mi viene chiesto di dimostrare che un gruppo G di ordine 1755= 3^3 * 5 * 13 non è semplice( ovvero possiede un sottogruppo normale diverso da { 1g} e G ) Come posso fare?

Stavo provando a svolgere degli esercizi e mi sono reso conto che le motivazioni di certe cose non mi sono tanto chiare, faccio un esempio: Sia $F \sub E=F[\alpha]$ un estensione di campi e sia $\alpha$ algebrico su $F$, so che $F[\alpha]=F(\alpha)$ è un campo poichè è isomorfo a $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ (che è campo), dove $f_{\alpha}^{min}(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha$ su $F$, chiamiamo $\bar \psi_{\alpha}: (F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x))) \to F[\alpha]$ tale isomorfismo. So anche che questo è un ...

Buonasera. Ho una dimostrazione stupida che non riesco a risolvere, o meglio, penso di non aver capito come si fanno le dimostrazioni. Devo dimostrare questo: $(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C). P.S Penso di aver dimostrato l'esercizio ma effettivamente non so se ho fatto bene o meno

Volendo dimostrare che per ogni naturale $n >= 37$, $(2n)! >= 2^n (n!)^2$ mi blocco già al passo base, nel senso che, per evitare ovviamente calcoli assurdi, non riesco a semplificare con i fattoriali. Ad esempio... $(2 \cdot 37)! >= 2^37 \cdot (37!)^2$; $37! \cdot {74!}/{37!} >= 2^37 \cdot (37!)(37!)$... come posso semplificare ?

Ciao a tutti! Ho un problema nello svolgimento di questo esercizio:“Sia $G$ un gruppo di ordine $5^2 * 7*17$ Mostrare che: a)Mostrare che $G$ ha un 5-Sylow $S$ normale b) $S sub Z(G)$ Il primo punto è facile. Basta ricordare che il numero dei 5-Sylow è congruo ad 1 mod 5 e divide $7*17$. L’unica possibilità dunque per l’indice $S$ è 1 e quindi $S$ è normale. Per il secondo invece ho notato che ...

Ciao a tutti non riesco a capire una piccola cosa in questa dimostrazione: Sia $p$ un primo, sia $G=PSL(2,\mathbb(Z)_p)$ e sia $B={((a,b),(0,a^-1)):a,b\in\mathbb(Z)_p}$ un suo sottogruppo. Dimostrare che $B$ è massimale in $G$. In altre parole, se $H$ è un sottogruppo di $G$ contenuto in $B$, allora $H=B$ oppure $H=G$ DIMOSTRAZIONE Considero l'azione $G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)$ questa azione è ...

Buonasera amici, sono preso da un forte dubbio !! sulla seguente affermazione \(\displaystyle* \) Qualunque sia l'insieme \(\displaystyle S \) l'insieme ordinato \(\displaystyle (P(S),\subseteq ) \) è completo, in quanto per ogni insieme non vuoto \(\displaystyle F \) di parti di \(\displaystyle S \) si ha \(\displaystyle infF= \bigcap_{X\in F} X\) e \(\displaystyle supF= \bigcup_{X\in F} X\) io l'ha interpreto cosi... ditemi se è corretta o sbagliata !! Vi riporto solo quella rispetto ...

Buongiorno a tutti! Durante il corso di Algebra mi sono imbattuto in questo gruppo: fissato $ n in (NN - { 0 }) $ , $ Aut (( ZZ | n ZZ )°) $ cioè il gruppo degli automorfismi sugli elementi invertibili delle classi di resto modulo n. Che gruppo è, al variare di $ n in (NN - { 0 }) $ ? Grazie a coloro che risponderanno.

Salve! Ho dei problemi con questo esercizio e non sono sicuro di alcune cose "Sia $sigma=(12345) in S_6$. Determinare $Z(sigma)$, $N(<sigma>)$, $N(N(<sigma>)$" Allora ho iniziato con il centralizzatore, calcolandone la cardinalità $|Z(sigma)|=|S_6|/|Cl(sigma)|=5$. In più detto $H=<sigma>$ ho che $|H|=5$ e $H sub Z(sigma)$, dunque $H=Z(sigma)$. Fin qui (credo!) dovrebbe andar bene. I miei problemi sono per il normalizzatore. So calcolarne la cardinalità, ma trovarlo è sempre un ...

Trovare $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ che sia invertibile: "semplice", basta trovare una funzione che sia iniettiva e suriettiva, Piccolo problema, l'immagine consta degli elementi $0$ e $1$ che non sono parte del dominio. Così, come prima cosa ho provato ad immagiarmela graficamente: ho pensato ad una funzione potenza, tangente, ed altre ancora, ma ovviamente il problema che mi si pone ogni volta è quello di trovare la controimmagine di $0$ e ...

Propongo il seguente esercizio: descrivere $Aut(Q_8 xx D_4)$ e trovarne la cardinalità. Ps: per $D_n$ s'intende il gruppo diedrale di un poligono regolare di $n$ lati, quindi $D_n$ ha cardinalità $2n$.