Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buonasera,
Sia $S$ un insieme non vuoto, e si ponga $G=(x,X) in P*P(S) : x in X $
Provare che la corrispondenza $(S*P(S),G)$ è un'applicazione di $S$ in $P(S)$ se e soltanto se $|S|=1$
Ho provato a risolverlo in questo modo, correggetemi se sbaglio...
Se suppongo che esiste la funzione,allora per def, di funzione ho, per ogni $x$ appartenente ad $S$ esisterà un solo elemento $X in P(S)$. Ora se suppongo che esista ...
Buonasera,
ho un esercizio che mi chiede di stabilire se l'ideale I di $Z[x]$ e' primo, massimale o nessuno dei due
l'ideale $I=(x^2+1,2)$
Io ho fatto in questo modo: controllo se $(Z[x])/I$ e' un campo o un dominio e a quel punto l'esercizio e' finito.
Ho percio' considerato $(Z[x])/(x^2+1,2)$=$(Z_2[x])/(x^2+1)$
A questo punto ho che $x^2+1=x^2-1$ trovandomi in $Z_2$ e quindi ho che
$x^2-1=(x-1)(x+1)=(x-1)^2$ sempre in $Z_2$
Arrivati a questo punto ...
Testo:
Sia $\sigma\inS_7$ la permutazione
$\sigma\=((1,2,3,4,5,6,7),(3,4,6,7,5,1,2))$
Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità. Si determini l'ordine del centralizzante $C_(S_7)(\sigma\)$ in $S_7$ di $\sigma$.
La mia soluzione parziale è la seguente:
-Prodotto di cicli disgiunti:
$\sigma_1*\sigma_2=(1,3,6)(2,4,7)$
-Ordine:
$o(\sigma\)=m.c.m(l(\sigma_1),l(\sigma_2))=m.c.m.(3,3)=3$.
-Parità:
$\Delta(\sigma)=\Delta(\sigma_1)*\Delta(\sigma_2)=(1)*(1)=1$. Questo perché cicli di lunghezza dispari sono pari (parità uguale ad ...
Buonasera a tutti,
devo dimostrare una proposizione sui gruppi risolubili. Vi scrivo la definizione di gruppo risolubile dataci dal prof:
Un gruppo finito $G$ si dice risolubile se ogni sua serie di composizione (o filtrazione di Jordan-Holder) ha fattori di composizione ciclici e di cardinalità un primo
So che in realtà la definizione più generale dice che $G$ è risolubile se possiede una serie subnormale i cui fattori sono abeliani ma ...
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Mi viene chiesto di dimostrare che un gruppo G di ordine 1755= 3^3 * 5 * 13 non è semplice( ovvero possiede un sottogruppo normale diverso da { 1g} e G ) Come posso fare?
Stavo provando a svolgere degli esercizi e mi sono reso conto che le motivazioni di certe cose non mi sono tanto chiare, faccio un esempio:
Sia $F \sub E=F[\alpha]$ un estensione di campi e sia $\alpha$ algebrico su $F$, so che $F[\alpha]=F(\alpha)$ è un campo poichè è isomorfo a $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ (che è campo), dove $f_{\alpha}^{min}(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha$ su $F$, chiamiamo $\bar \psi_{\alpha}: (F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x))) \to F[\alpha]$ tale isomorfismo.
So anche che questo è un ...
Buonasera. Ho una dimostrazione stupida che non riesco a risolvere, o meglio, penso di non aver capito come si fanno le dimostrazioni.
Devo dimostrare questo: $(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C).
P.S Penso di aver dimostrato l'esercizio ma effettivamente non so se ho fatto bene o meno
Volendo dimostrare che per ogni naturale $n >= 37$, $(2n)! >= 2^n (n!)^2$ mi blocco già al passo base, nel senso che, per evitare ovviamente calcoli assurdi, non riesco a semplificare con i fattoriali.
Ad esempio...
$(2 \cdot 37)! >= 2^37 \cdot (37!)^2$;
$37! \cdot {74!}/{37!} >= 2^37 \cdot (37!)(37!)$...
come posso semplificare ?
Ciao a tutti! Ho un problema nello svolgimento di questo esercizio:“Sia $G$ un gruppo di ordine $5^2 * 7*17$ Mostrare che:
a)Mostrare che $G$ ha un 5-Sylow $S$ normale
b) $S sub Z(G)$
Il primo punto è facile. Basta ricordare che il numero dei 5-Sylow è congruo ad 1 mod 5 e divide $7*17$. L’unica possibilità dunque per l’indice $S$ è 1 e quindi $S$ è normale. Per il secondo invece ho notato che ...
Ciao a tutti non riesco a capire una piccola cosa in questa dimostrazione:
Sia $p$ un primo, sia $G=PSL(2,\mathbb(Z)_p)$ e sia $B={((a,b),(0,a^-1)):a,b\in\mathbb(Z)_p}$ un suo sottogruppo. Dimostrare che $B$ è massimale in $G$. In altre parole, se $H$ è un sottogruppo di $G$ contenuto in $B$, allora $H=B$ oppure $H=G$
DIMOSTRAZIONE
Considero l'azione $G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)$ questa azione è ...
Buonasera amici,
sono preso da un forte dubbio !! sulla seguente affermazione
\(\displaystyle* \) Qualunque sia l'insieme \(\displaystyle S \) l'insieme ordinato \(\displaystyle (P(S),\subseteq ) \) è completo, in quanto per ogni insieme non vuoto \(\displaystyle F \) di parti di \(\displaystyle S \) si ha
\(\displaystyle infF= \bigcap_{X\in F} X\) e \(\displaystyle supF= \bigcup_{X\in F} X\)
io l'ha interpreto cosi... ditemi se è corretta o sbagliata !!
Vi riporto solo quella rispetto ...
Buongiorno a tutti!
Durante il corso di Algebra mi sono imbattuto in questo gruppo:
fissato $ n in (NN - { 0 }) $ ,
$ Aut (( ZZ | n ZZ )°) $
cioè il gruppo degli automorfismi sugli elementi invertibili delle classi di resto modulo n.
Che gruppo è, al variare di $ n in (NN - { 0 }) $ ?
Grazie a coloro che risponderanno.
Salve! Ho dei problemi con questo esercizio e non sono sicuro di alcune cose
"Sia $sigma=(12345) in S_6$. Determinare $Z(sigma)$, $N(<sigma>)$, $N(N(<sigma>)$"
Allora ho iniziato con il centralizzatore, calcolandone la cardinalità
$|Z(sigma)|=|S_6|/|Cl(sigma)|=5$. In più detto $H=<sigma>$ ho che $|H|=5$ e $H sub Z(sigma)$, dunque $H=Z(sigma)$.
Fin qui (credo!) dovrebbe andar bene.
I miei problemi sono per il normalizzatore. So calcolarne la cardinalità, ma trovarlo è sempre un ...
Trovare $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ che sia invertibile:
"semplice", basta trovare una funzione che sia iniettiva e suriettiva,
Piccolo problema, l'immagine consta degli elementi $0$ e $1$ che non sono parte del dominio.
Così, come prima cosa ho provato ad immagiarmela graficamente: ho pensato ad una funzione potenza, tangente, ed altre ancora, ma ovviamente il problema che mi si pone ogni volta è quello di trovare la controimmagine di $0$ e ...
Propongo il seguente esercizio: descrivere $Aut(Q_8 xx D_4)$ e trovarne la cardinalità.
Ps: per $D_n$ s'intende il gruppo diedrale di un poligono regolare di $n$ lati, quindi $D_n$ ha cardinalità $2n$.
Ciao a tutti
Stavo svolgendo un esercizio che mi chiedeva di classificare un gruppo di ordine 12 e ho avuto qualche dubbio. Io ho iniziato cosi...
allora $12=2^2*3$ e indicando con $P_2$ e $P_3$ rispettivamente i 2-sylow e i 3-sylow so per quanto riguarda il loro numero che: $n_3 -= 1 (3)$ e $n_3 | 12$ quindi $n_3=1, 4$
$n_2 -= 1 (2)$ e $n_2 | 12$ quindi $n_2=1, 3$
Osservo anche che necessariamente uno fra un 2-sylow e ...
Ciao
Ero alla prese con questo esercizio che chiede di risolvere delle equazioni in $S_n$
"Trovare le $sigma$ tali che:
a) $sigma in S_10$ verifichi $sigma^3=(1234)(56)$
b) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^3=(13578)$
c) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^6=(12)(34)$
Partendo dal primo:
So che l'ordine di $sigma^3$ è uguale a 4, dunque $sigma^12=id$, da cui $o(sigma) | 12$. Ho studiato le terze potenze di un qualsiasi 2,3,4 e 6-ciclo e deduco che non ...
Un esercizio mi chiede di enunciare per bene e dimostrare questo fatto:
Se la composizione di due funzioni è iniettiva, allora la più interna è iniettiva.
Siano $f: A \rightarrow B, f(a)=b$ e $g: B \rightarrow C, g(b)=c$ due funzioni la cui composizione $g \circ f$ è iniettiva.
Abbiamo:
$\forall a_1,a_2 \in A$ se $a_1 \ne a_2 \Rightarrow g(f(a_1)) \ne g(f(a_2))$
ma $g(f(a_1)) \ne g(f(a_2)) \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$
Perché se per assurdo fosse $f(a_1) = f(a_2)$ allora $g$ non sarebbe una funzione, in quanto per definizione di funzione $\forall b \in B \exists! c \in C : c=g(b)$.
Da ...
Quante funzioni iniettive ci sono $ f[3] rarr [4] $ ci sono?
Sinceramente non so bene come muovermi con questi esercizi, io credo ci siano 4 funzioni, perché sono 4 gli elementi del codominio.
Quante funzioni suriettive ci sono $ f[4] rarr [3] $ ci sono?
Per essere suriettiva ogni elemento del codominio deve essere l'immagine di qualche elemento del dominio, quindi anche in questo caso direi 4.
Sono giusti?
(forse ho sbagliato categoria, ma è un esercizio che mi è capitato preparando ...
Buonasera, vi scrivo testo e parziale soluzione del seguente esercizio per cui chiedo aiuto:
Testo:
Sia G un gruppo di ordine $p^2$ con p numero primo. Si mostri che G ha al più $p+3$ sottogruppi.
Sicuramente conteggio i due sottogruppi banali, cioè l'unità e G stesso. Inoltre, per il teorema di Lagrange, posso sicuramente dire che l'ordine di tali sottogruppi può essere $1, p$ oppure $p^2$. Qui non so più cosa dire.
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