Caratteristica in un anello unitario
Durante il corso abbiamo dimostrato che in un anello $A$ unitario di caratteristica $c$, $c=0$ oppure $c = min{ n in NN : na = 0, AA a in A}$
Quindi ciò significa che se la caratteristica è $c$, tutti gli altri elementi avranno periodo $c$, che in notazione additiva è proprio il minimo intero tale che moltiplicato per l'elemento, dia zero. Tuttavia, in $Z_3 x Z_2$ la caratteristica è 6 ma $(1, 0)$ ha periodo 3. Infatti ho letto su un altro testo che soltanto negli anelli integri il periodo degli altri elementi dell'anello è sicuramente uguale alla caratteristica. Come si spiega?
Quindi ciò significa che se la caratteristica è $c$, tutti gli altri elementi avranno periodo $c$, che in notazione additiva è proprio il minimo intero tale che moltiplicato per l'elemento, dia zero. Tuttavia, in $Z_3 x Z_2$ la caratteristica è 6 ma $(1, 0)$ ha periodo 3. Infatti ho letto su un altro testo che soltanto negli anelli integri il periodo degli altri elementi dell'anello è sicuramente uguale alla caratteristica. Come si spiega?
Risposte
La definizione di caratteristica che hai dato è leggermente diversa da quella solita, sei sicuro siano equivalenti? Poi, in un anello non integro l'ordine di un elemento divide la caratteristica dell'anello (che è un primo sse l'anello è integro, appunto), non vedo il problema! 
Noi abbiamo definito la caratteristica come il periodo dell'unità e poi abbiamo dimostrato che essa coincide con il minimo dell'insieme che ho scritto sopra. Ma allora da questo dovrei dedurre che se un anello ha caratteristica c, tutti gli altri elementi hanno periodo c ed è falso, visto il controesempio che ho riportato. Non capisco questo..
Ma allora da questo dovrei dedurre che se un anello ha caratteristica c, tutti gli altri elementi hanno periodo c
Per quale motivo? Una cosa è il minimo intero tale che \(n \cdot 1=0\), tutt'altra cosa è l'ordine additivo di un elemento di $A$ (i due oggetti sono separati da un quantificatore universale, che però fa la differenza); come hai visto, in generale sono diversi.
"killing_buddha":
la caratteristica dell'anello (che è un primo sse l'anello è integro, appunto)
Sei sicuro di questo? Se considero $M(2,2,ZZ_p)$, ovvero l'anello delle matrici $2\times2$ a coefficienti in $ZZ_p$, con $p$ primo, non è un controesempio? Ha caratteristica un primo ma ha divisori dello zero (anche nilpotenti non banali), se non sbaglio.
Ah certo, non è un sse ma un se.
Grazie, ho capito dove sbagliavo. La caratteristica $c$ sarebbe stata il periodo di $a$ se fosse stato $c= min{n in NN : na = 0}, AA a in A$ .
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