Quoziente tra insiemi con generatori
Buongiorno,
ho alcuni problemi a capire come calcolare questo quoziente di insiemi:
$\frac{\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}}{\mathbb{Z}<2a+2b+c+d>}$.
Il testo dice che questo è uguale a $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$.
Potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie in anticipo!
ho alcuni problemi a capire come calcolare questo quoziente di insiemi:
$\frac{\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}
Il testo dice che questo è uguale a $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$.
Potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie in anticipo!
Risposte
Non è affatto chiaro chi sia $2a+2b+c+d$. Che senso ha sommare combinazioni lineari (formali...?) di generatori in un gruppo libero?
Scusami, non mi sono spiegata bene.
Questo fa parte di un esercizio sul calcolo di gruppi di omologia ridotta di $ U_2 $ (inteso come somma connessa di due piano proiettivi reali) meno due suoi punti $P$ e $Q$ (distinti). Ho utilizzato il teorema di Mayer-Vietoris prendendo come sottospazi:
- $X_1$ uguale ad $X$ a cui ho sottratto un disco aperto $D(r)$ contenente i due punti $P$ e $Q$
- $X_2$ uguale a $D(R)\backslash{P,Q}$ con $R>r$
L'intersezione di $X_1$ e $X_2$ è $D(R)\backslashD(r)$
Ho calcolato i gruppi di omologia ridotta dei due sottospazi e dell'intersezione e risultano:
$ H_1(X_1)= \mathbb{Z} <[a]> \oplus \mathbb{Z}<>$ per $q=1$
$ H_q (X_1)={0}$ per $q \ne 1$
$ H_1(X_2)= \mathbb{Z} <[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>$ per $q=1$
$ H_q (X_2)={0}$ per $q \ne 1$
$ H_1(X_1\cap X_2)= \mathbb{Z} <[e]> $
$ H_q (X_1\cap X_2)={0}$ per $q \ne 1$
dove $[a]$,$$,$[c]$,$[d]$,$[e]$ sono dei cappi.
Dopo aver applicato Mayer-Vietoris arrivo a dire che
$\tilde{H}_1(X) = \frac{\mathbb{Z}<[a]> \oplus \mathbb{Z}<> \oplus \mathbb{Z}<[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>}{\mathbb{Z}<2[a]+2+[c]+[d]>} $.
Questo risultato deriva dal fatto che l'immagine di $[e]$ rispetto a $\phi_1: \tilde{H}_1(X_1 \cap \X_2) \rightarrow \tilde{H}_1(X_1)$ è uguale a $2[a]+2+[c]+[d]$.
E $\tilde{H]_1(X) = \frac{\tilde{H}_1(X_1)\oplus \tilde{H}_1(X_2)}{Im\phi_1}$.
Ora la mia domanda è: perché $\tilde{H}_1(X)=\frac{\mathbb{Z}<[a]> \oplus \mathbb{Z}<> \oplus \mathbb{Z}<[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>}{\mathbb{Z}<2[a]+2+[c]+[d]>} $ risulta essere uguale a $\mathbb{Z}^{3}$?
Questo fa parte di un esercizio sul calcolo di gruppi di omologia ridotta di $ U_2 $ (inteso come somma connessa di due piano proiettivi reali) meno due suoi punti $P$ e $Q$ (distinti). Ho utilizzato il teorema di Mayer-Vietoris prendendo come sottospazi:
- $X_1$ uguale ad $X$ a cui ho sottratto un disco aperto $D(r)$ contenente i due punti $P$ e $Q$
- $X_2$ uguale a $D(R)\backslash{P,Q}$ con $R>r$
L'intersezione di $X_1$ e $X_2$ è $D(R)\backslashD(r)$
Ho calcolato i gruppi di omologia ridotta dei due sottospazi e dell'intersezione e risultano:
$ H_1(X_1)= \mathbb{Z} <[a]> \oplus \mathbb{Z}<>$ per $q=1$
$ H_q (X_1)={0}$ per $q \ne 1$
$ H_1(X_2)= \mathbb{Z} <[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>$ per $q=1$
$ H_q (X_2)={0}$ per $q \ne 1$
$ H_1(X_1\cap X_2)= \mathbb{Z} <[e]> $
$ H_q (X_1\cap X_2)={0}$ per $q \ne 1$
dove $[a]$,$$,$[c]$,$[d]$,$[e]$ sono dei cappi.
Dopo aver applicato Mayer-Vietoris arrivo a dire che
$\tilde{H}_1(X) = \frac{\mathbb{Z}<[a]> \oplus \mathbb{Z}<> \oplus \mathbb{Z}<[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>}{\mathbb{Z}<2[a]+2+[c]+[d]>} $.
Questo risultato deriva dal fatto che l'immagine di $[e]$ rispetto a $\phi_1: \tilde{H}_1(X_1 \cap \X_2) \rightarrow \tilde{H}_1(X_1)$ è uguale a $2[a]+2+[c]+[d]$.
E $\tilde{H]_1(X) = \frac{\tilde{H}_1(X_1)\oplus \tilde{H}_1(X_2)}{Im\phi_1}$.
Ora la mia domanda è: perché $\tilde{H}_1(X)=\frac{\mathbb{Z}<[a]> \oplus \mathbb{Z}<> \oplus \mathbb{Z}<[c]> \oplus \mathbb{Z}<[d]>}{\mathbb{Z}<2[a]+2+[c]+[d]>} $ risulta essere uguale a $\mathbb{Z}^{3}$?
Ma perché devi fare questo casino? La successione esatta di MV serve appunto a evitarlo...
Comunque al prossimo che usa $<$ invece di $\langle$ lo vado a cercare a casa e gli ammazzo il gatto.
Senza contare che stai facendo confusione tra coprodotto di gruppi in \(\bf Grp\) (il prodotto libero) e il \(\bf Ab\) (la somma diretta). Per i gruppi di co/omologia di uno spazio la faccenda è semplice, essendo tutti gruppi abeliani il loro coprodotto ne è la somma diretta; chiaramente \(\mathbb Z * \mathbb Z\) non è isomorfo manco per sogno a \(\mathbb Z\oplus\mathbb Z\)...
Dopo vedo cosa viene applicando Mayer-Vietoris a \((\mathbb{RP}^2\# \mathbb{RP}^2)\setminus \{x,y\}\), ma penso sia un argomento facile che usa l'esattezza.
Dopo vedo cosa viene applicando Mayer-Vietoris a \((\mathbb{RP}^2\# \mathbb{RP}^2)\setminus \{x,y\}\), ma penso sia un argomento facile che usa l'esattezza.
Ho meno tempo di quel che speravo; usa MV sulla decomposizione che spezza lo spazio \(X = (\mathbb{RP}^2\# \mathbb{RP}^2)\setminus \{x,y\}\) in due copie $U,V$ del piano proiettivo reale a cui hai tolto due punti, e \(U\cap V\simeq S^1\). Ti viene (questi sono tutti i termini nonzero)
\[
0\to H_2U\oplus H_2V \to H_2X \xrightarrow{\alpha} \overset{\mathbb Z}{H_1S^1} \xrightarrow{\beta} H_1U\oplus H_1 V \xrightarrow{\gamma} H_1X \to 0
\]
la figata è che \(U\simeq V\simeq S^1 \lor S^1\), come ti è facile dimostrare trovando una retrazione (hint: quando togli un solo punto \(\mathbb{RP}^2\setminus \{x\}\simeq\mathbb{RP}^1\), retraendo sull'equatore; i due punti che hai tolto stanno nell'interno dell'unica 2-cella del 2-scheletro di \(\mathbb{RP}^2\); allora retrai all' 1-scheletro mantenendo un intornino attorno all'altro punto tolto: quello che ti rimane retrae a sua volta a \(S^1\lor S^1\). Fai un disegno)
\[
0\to H_2U\oplus H_2V \to H_2X \xrightarrow{\alpha} \overset{\mathbb Z}{H_1S^1} \xrightarrow{\beta} H_1U\oplus H_1 V \xrightarrow{\gamma} H_1X \to 0
\]
la figata è che \(U\simeq V\simeq S^1 \lor S^1\), come ti è facile dimostrare trovando una retrazione (hint: quando togli un solo punto \(\mathbb{RP}^2\setminus \{x\}\simeq\mathbb{RP}^1\), retraendo sull'equatore; i due punti che hai tolto stanno nell'interno dell'unica 2-cella del 2-scheletro di \(\mathbb{RP}^2\); allora retrai all' 1-scheletro mantenendo un intornino attorno all'altro punto tolto: quello che ti rimane retrae a sua volta a \(S^1\lor S^1\). Fai un disegno)
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