Esercizio sui p-Sylow e gruppi semplici

[ann83]

Ciao ragazzi.
Ho un problema col seguente esercizio: devo dimostrare che se |G|= $2^6*5^6$ allora G non è semplice.

Ho calcolato che:
- un 5-Sylow di G ha ordine $5^6$ e che n[size=60]5[/size] = 1 o n[size=60]5[/size] = 16
- un 2-Sylow di G ha ordine $2^6$ e che n[size=60]2[/size] = 1 o n[size=60]2[/size] = potenza di 5 (fino a $5^6$)

e non so come continuare...

Grazie

[Stickelberger]

Come dici tu, se $G$ e' semplice, devono esserci $16$ sottogruppi di Sylow di ordine $5^6$.
L'azione per coniugio di $G$ sull'insieme di questi $16$ sottogruppi e' un omomorfismo
$f:G\rightarrow S_{16}$. Se $G$ fosse semplice, $f$ sarebbe iniettivo $\ldots$

[ann83]

grazie... forse ho capito...

per il teorema degli isomorfismi G deve essere isomorfo a un sottogruppo di S[size=65]16[/size] e quindi il suo ordine deve dividere 16! (assurdo) e quindi G non è semplice

e poi faccio lo stesso procedimento per i 2-Sylow...

giusto?

[Stickelberger]

Non e' necessario considerare i $2$-sottogruppi di Sylow.

L'argomento usando i $5$-sottogruppi di Sylow ti da' gia' un assurdo.
E quindi $G$ non puo' essere semplice.
Non ti basta?

[ann83]

Perfetto. Grazie