Scomposizione polinomio di grado infinito

[stenford]

Premetto la mia ignoranza assoluta , quindi se faccio errori perdonatemi
Oggi a lezione il prof ha affermato che un generico polinomio $mu$ di grado infinito può sempre essere scomposto in tale modo $ mu (L)= (gamma (L))/(omega (L)) $ con $gamma$ di grado $l$ e $omega$ di grado $k$ , entrambi finiti con $ l!= k $
Non sapendo se può servire sono funzioni comunque in $R$ , volevo sapere se tale relazione fosse possibile, a me sembra strano che il quoziente di due polinomi di grado finito dia uno infinito.

p.s. tale relazione è stata ricavata in ambito economico, sapendo che la "matematica" adoperata in tale contesta è più blanda se non errata in alcuni casi volevo capire se esistesse realmente una tale proprietà oppure tale relazione fosse stata costruita ad hoc per avvicinarsi a casistiche pratiche.

[killing_buddha]

Non esiste un polinomio di grado infinito; esistono le serie formali https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series e il loro campo dei quozienti https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_po ... ent_series

[stenford]

"killing_buddha":Non esiste un polinomio di grado infinito; esistono le serie formali https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series e il loro campo dei quozienti https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_po ... ent_series

grazie mille della delucidazione, non ne avevo idea! ho letto le serie formali e a spanne per lo meno l'idea l'ho capita,
per quanto riguarda le serie formali di Laurent, sinceramente non riesco ad intuirle, per caso il campo dei quozienti è quello che viene adoperato nella relazione che ho scritto prima?

[stenford]

Nessun suggerimento? Per lo meno capire a cosa è relativa tale relazione? Se campo quoziente o cosa?

[dissonance]

Potrebbe essere una maniera di parlare di serie di Laurent:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

Il quoziente di due polinomi, infatti, è una funzione olomorfa tranne che in un numero finito di punti singolari (gli zeri del denominatore che non corrispondono a zeri del numeratore). E quindi si può scomporre in serie di Laurent, che si potrebbe chiamare "polinomio di grado infinito" (facendo, però, una macelleria matematica).

[killing_buddha]

"dissonance":Potrebbe essere una maniera di parlare di serie di Laurent:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

Il quoziente di due polinomi, infatti, è una funzione olomorfa tranne che in un numero finito di punti singolari (gli zeri del denominatore che non corrispondono a zeri del numeratore). E quindi si può scomporre in serie di Laurent, che si potrebbe chiamare "polinomio di grado infinito" (facendo, però, una macelleria matematica).

No, il quoziente di due polinomi è un elemento del campo dei quozienti di $K[X]$; una serie di Laurent è un elemento del campo dei quozienti di \(K[\![ X ]\!]\cong \varprojlim_n K[X]/(X^n)\), sono campi diversi -sia algebricamente: il secondo è un'estensione non banale del primo, ma ancor più forte, \(K[\![ X ]\!]\) è un anello locale, $K[X]$ manco per sogno; sia topologicamente: il secondo è uno spazio ultrametrico completo, il primo no-.

[dissonance]

E allora non lo so che si voleva dire. Buon Natale killing_buddha!!!

[killing_buddha]

Mi piace il Natale, nessuno rompe le palle perché sono tutti occupati a festeggiare, e io posso fare piu matematica