Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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"Sia $S$ un insieme e $\epsilon(S)$ l'insieme delle relazioni di equivalenza in $S$. Provare che esiste un'applicazione iniettiva di $\epsilon(S)$ in $P(P(S))$"
Ho costruito questa applicazione:
$\phi: R in \epsilon(S) ->{F} in P(P(S))$
Dove $F$ è la partizione individuata da $R$.
Dovrei avere
$\phi(R)=\phi(R') <=> {F}={F'} <=> F=F' <=> R=R'$
Dunque $\phi$ è ben definita e iniettiva. D'altra parte per un teorema ad ogni partizione è associata una e una sola ...
Sia $S$ un insieme non vuoto e $R$ una relazione di equivalenza su $S$. Provare che esiste un'applicazione $f$ con dominio $S$ tale che $R=R_f$ (dove, se $f:S->T$ è un'applicazione, $xR_fy <=> f(x)=f(y)$)
Ho costruito l'applicazione $f:x in S->[x]_R in S/R$
$xRy <=> [x]_R=[y]_R <=> f(x)=f(y) <=> xR_fy $ cioè $R=R_f$.
Può andare?
Dovevo dimostrare che dato $S={(a,3a)inRR^2| a inRR}$ il quoziente $RR^2setminusS$ fosse isomorfo $RR$ dove le strutture sono entrambe additive.
L’idea è che i laterali sono costituiti dalle rette affini passanti per $(x,y)$ e avente direzione $(1,3)$
$(x,y)+S={(z,t)inRR^2:(x-z,y-t)inS}$
Quindi l’isomorfismo che ho considerato è $f(x)=(x,x)+S$
L’idea di base è che comunque due classi coincidono se due punti appartengono a una stessa retta. Quindi in genere dato un punto del piano ...
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione dell’unicità dell’isomorfismo $L:G/(Ker(f))->Im(f)$ , $L(Kg)=f(g)$
ove $f:G->G’$ omomorfismo e $(G,varphi),(G’,phi)$ gruppi
Ciao
Dovevo mostrare che il centro di un gruppo è un sottogruppo normale.
prendo $(G,phi)$ gruppo e $Z(G)$ il suo centro
$Z(G)g={phi(h,g) inG: h inZ(G)}$
$gZ(G)={phi(g,h) inG: h inZ(G)}$
chiaramente essendo $h inZ(G)$ abbiamo che $phi(h,g)=phi(g,h)$ per definizione stessa di centro di un gruppo. Dato che gli elementi di $Z(G)$ commutano con tutti gli elementi del gruppo, dovranno commutare anche con un particolare elemento
$x inZ(G)g <=> exists h inZ(G): x=phi(h,g)=phi(g,h) <=> x ingZ(G)$
quindi $forallg inG, Z(G)g=gZ(G)$ da cui segue che ...
Stavo studiando algebra quando mi sono incappato in una cosa che non mi ricordo come si fa e per questo vi chiedo aiuto; la domanda è: il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico è abeliano? Questa è la domanda principale ma me ne vengono in mente anche altre collegate, per esempio: è anche ciclico? funziona anche se si parte da un gruppo abeliano? funziona se e solo se si parte da un gruppo abeliano?
Ciao
si consideri il gruppo additivo delle funzioni continue in $[0,1]$ a valori reali $RR$(che chiamerò $G$)
si consideri l'insieme, $N={f inG:f(a)=0}, a=1/3$
si mostri che $N$ è normale in $G$. A cosa è isomorfo $G/N$?
per prima cosa $G$ è abeliano quindi sul fatto che $N$ sia normale non c'è dubbio.
Vedendo un generico laterale,
$[f]={g inG: f(a)=g(a)}$
l'idea è che $G$ sia ...
Stavo guardando un po' alcuni esercizi e mi è venuto in mente di dimostrare questa cosa:
sia $(G;phi)$ un gruppo.
Se $G$ è ciclico allora ogni sottogruppo è normale e il gruppo quoziente associato è generato dalla classe del generatore di $G$
per prima cosa $existsg inG: G= <<g>>$
per seconda cosa, un qualsiasi sottogruppo di $G$ sarà ciclico e della forma $H= <<g^k>>$ per qualche intero $k$
mostriamo che $H$ è ...
Ciao,
Ho un dubbio su un esercizio.
Semplificare l'espressione:
$barB+barC+ BC$
Dove con $+$ è indicata la somma logica e quando le lettere sono vicine c'è in mezzo il prodotto logico, con la barra si indica il negato del letterale.
Il problema è che questa espressione allo stesso tempo mi risulta uguale a $barC$ e a $barB$.
$barB+barC+ BC=barB+(barC+B)(barC+C)=barB+(barC+B)=barB+barC+B=barC$
Oppure, sfruttando la proprietà associativa della somma logica:
$barB+barC+ BC=barC+barB+ BC=barC+(barB+B)(barB+C)=barB+C+barC=barB$.
Dove sbaglio?
Grazie.
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e non so se abbia aperto l'argomento giusto nella sezione giusta, ma mi serve una mano nel capire questi quesiti logico-aritmetici. Qualcuno saprebbe spiegarmi la risoluzione?
Mi chiede di eliminare un numero nell'insieme, esercizi simili che risoluzione hanno? qual è il filo logico?
E sfrutto la vostra gentilezza chiedendovi un aiuto anche in quest tipo di quesiti:
Un commesso ha venduto ad un cliente una giacca e una camicia per un valore complessivo di 615 ...
Ciao
sia $(K;+,*)$ un campo (dove $1_Kne0_K)$, allora gli unici ideali del campo sono $K$ e ${0_K}$
(uso le notazioni additiva e moltiplicativa per non appesantire)
chiaramente $K$ e ${0_K}$ sono due ideali bilateri del campo.
mostrerò che se $I$ è un ideale di $K$ e $Ine{0_K}$ allora $I=K$.
$1)$ se $IsubseteqK$ è un ideale(lo chiamo ideale perchè ovviamente è ...
Ciao
Devo dimostrare che ogni sottoanello di $ZZ$ è del tipo $ZZn$ con $n inNN$
Il mio libro fa una dimostrazione esagerata e quindi propongo la mia per vedere se sia corretta.
Chiaramente ogni insieme del tipo $ZZn$ dotato delle stesse operazioni di $ZZ$ si ottiene un anello.
Viceversa se $H$ è un sottoanello di $ZZ$ in particolare è sottogruppo rispetto alla somma, ma $ZZ$ è ciclico e ...
Ciao
siano $R,S$ anelli e $f:R->S$ un epimorfismo di anelli unitari
Se $1_R inKer(f)$ allora $S={1_R}$
La dimostrazione é breve ma non vorrei incappare in errori inutili
$f$ epimorfismo $=> f(1_R)=1_S$
$1_R inKer(f) => f(1_R)=0_S$
Ma allora $1_S=0_S=>S={1_S}$
Ovvero se in un epimorfismo di anelli il nucleo contiene l’unità del dominio, allora il codominio è l’anello zero.
Stavo leggendo sul fatto che in genere il nucleo non fosse un sottoanello ...
Ciao a tutti! Oggi mi sono trovato una teorema e una dimostrazione di particolare interesse. Il fatto è che non mi sono chiari dei tratti della dimostrazione. Riporto pari pari quanto scritto sul libro che sto consultando:
"Pietro Di Martino in Algebra":24qoqlr6:
Proposizione. Se $(G,\ast)$ è un gruppo finito, un sottoinsieme $H$ di $G$ è un sottogruppo se e solo se $H$ è chiuso per l'operazione $\ast$.
Dimostrazione. Una ...
Ciao
Mi domandavo circa il motivo per cui fosse igienico non considerare in un anello, in generale, l’invertibilità dello zero e mi sono risposto nel seguente modo ‘Se in un anello lo zero è invertibile allora esso è formato da solo un elemento’
La dimostrazione di ciò, è la seguente:
Prendo $(R;+,*)$ anello con unità(uso per sbrigarmi le notazioni additive e moltiplicative)
1) $a*0=0*a=0,forall a inR$
2)[size=90] $existsa inR:a*0=0*a=1 => 1=0*a=0,foralla inR=>1=0$[/size]
Quindi in un anello in cui lo zero sia ...
In $S_5$ il sottogruppo $H=<(1234),(25)(34)>$ quanti elementi ha. C'é una formula? Io ho visto che si calcola il mcm, ma non mi tornano i conti. Grazie
Onde evitare confusioni, enuncio i soprastanti teoremi
Teorema (Hartogs)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Allora esiste un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ o di $T$ in $S$"
Teorema (Bernstein)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Se esistono un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ ed un'applicazione iniettiva di $T$ in ...
Mi è venuta questa perplessità dopo tempo:
dato un insieme $A$ e una relazione binaria $RsubseteqAtimesA$
si usa scrivere che $R$ è simmetrica se
$forallx,y inA, (x,y)inR => (y,x) inR$
questo significa letteralmente che per ogni coppia di $x,y inA$, se $(x,y) inR$ allora $(y,x)inR$.
domanda: significa che tale proprietà agisce solo sulle coppie di elementi che sono in relazione e non su qualsiasi coppia di elementi dell'insieme, giusto?
mi sono posto questa ...
Dato un poligono regolare di quattro lati considero il gruppo diedrale $D_4$ composto dalle permutazioni che di $S_4$ che trasformano in sè il poligono.
Voglio contare tutti gli automorfismi $Aut(D_4)$ e contare tutti gli automorfismi interni $I(D_4)$
Definite con $a$ le rotazioni in senso orario rispetto al centro di simmetria e con $b$ la rotazione rispetto all'asse passante per il centro e per il vertice ...
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