Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti Mi é chiaro cosa sia il principio di induzione, ma non mi é chiaro come risolvere gli esercizi. Qualcuno mi può gentilmente aiutare sviluppando l'esercizio e commentandolo passo passo.. Grazie a tutti..

Ciao ragazzi ho un problema con un esercizio riguardante i gruppi non semplici. Io ho l’ordine di un gruppo e devo dimostrare che sia non semplice. Io fattorizzo l’ordine in numeri primi In questo caso abbiamo $6545$=$5*7*11*17$ Io uso i teoremi di Sylow e trovo dei sottogruppi p- Sylow. In questo caso però non mi escono i calcoli , non riesco ad arrivare all’ordine

Buongiorno, vi chiedo gentilmente una mano riguardo il seguente esercizio: Si consideri in $mathbb(F_7)[x]$ il polinomio $f(x)=x^3-x+2$ e sia $I$ l'ideale $I=(f(x))$. Si dimostri che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo e si determini in $K$ l'inverso di $x^2+x+2+I$. Parziale soluzione: Ho dimostrato che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo mostrando che $I$ è massimale, poiché $f(x)$ è irriducibile in $mathbb(F_7)$. Riguardo alla ...

Buonasera, vi chiedo gentilmente aiuto riguardo il seguente esercizio: Sia $\sigma\ in\ S_3$ la permutazione definita da: $\sigma=((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13),(5, 10, 2, 13, 4, 11, 9, 12, 6, 3, 1, 8, 7))$ (1) Scrivere $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti. Determinarne ordine e parità. (2) Determinare l'ordine di ogni sottogruppo di $<\sigma>$, specificando quanti sottogruppi esistono di un determinato ordine. Per ciascun sottogruppo, determinare un generatore. (1) il prodotto in cicli disgiunti è $\sigma=(1, 5, 4, 13, 7, 9, 6, 11)(2, 10, 3)(8, 12)$. L'ordine è 24 e la ...

Ciao a tutti, sto iniziando a studiare la teoria dei gruppi. Mi piacerebbe avere un bel manuale che copra anche argomenti di algebra (insomma, un investimento per il futuro). Cercando qua e là, anche sul forum, ho trovato questi possibili titoli: - Algebra, Herstein - Abstract Algebra, P. Grillet - Abstract Algebra, Dummit and Foote Cosa mi consigliate? Certo, se qualcuno di voi conosce un monografico estremamente ben fatto che dovrei assolutamente avere, ci farei un pensierino... Grazie ...

Mi trovo in difficoltà con un esercizio , Questo mi chiede di mostrare che il gruppo $G$ con ordine = $p^2*q^2$ con $p<q$ é non semplice e inoltre so già che l’ordine deve essere diverso da $36$. Da questa ultima osservazione posso dedurre che $p$ deve essere diverso da $2$ e $q$ deve essere diverso da $3$ . Ho provato a eseguirlo ponendo $p$ =$5$ e ...

Devo dimostrare che il gruppo G tale che $o(G)=992$ non é semplice. Io utilizzo i teoremi di Sylow quindi fattorizzo l’ordine di G per cui $o(G)=(2^5)*31$. Considero $n_31$ il numero dei sottogruppi di sylow di ordine 31 e $n_31$= 1 oppure 31 Allo stesso modo considero $n_2$ il numero dei sttogruppi di sylow di ordine 32 e $n_2$= 1 oppure 32 Se considero $n_31$= 32 trovo 32*30 = 960 elementi Per $n_2$ = 1 trovo ...

Ho alcune domande teoriche e alcuni esercizi di cui non ho riscontro per la validità, mi scuso per la lunghezza del post ma, per gran parte è solo una conferma immediata. 1) Quali dei seguenti isomorfismi di categorie sono veri: (a) Rel e Rel^(op) SI basta considerare la funzione (a,b) → (b,a) (b) Sets e Sets^op SI per ogni f:A→B esiste una g:B→A mi basta invertire le freccie per avere tutti i casi (c) dato X il poset P(X) e P(X)^(op) NO in generale le frecce inverse sono "vuote" 2) ...

Buonasera, chiedo gentilmente una mano riguardo il seguente esercizio: Sia $f(x)=x^4+3*x^2+2$ in $mathbb(Q)[x]$: (1) Si dica, giustificando la risposta, se l'anello quoziente $A=(mathbb(Q)[x])/(f(x))$ è un campo. (2) Si dica se $x+(f(x))$ è un elemento invertibile di A e, in caso affermativo, se ne determini l'inverso. (3) Si determinino tutti gli ideali di $mathbb(Q)[x]$ che contengono l'ideale $(f(x))$. Grazie in anticipo a chi risponderà

Buonasera. Chiedo gentilmente aiuto riguardo il seguente esercizio: 1)Determinare esplicitamente (indicando come operano sugli elementi del domino) tutti gli omomorfismi dal gruppo $mathbb(Z//6Z)$ al gruppo $S_3$, il cui nucleo abbia ordine 3. Ho ragionato così: Il nucleo dell'omomorfismo f è un sottogruppo normale di $mathbb(Z//6Z)$. L'unico sottogruppo normale di ordine 3 di $mathbb(Z//6z)$ è ${0, 2, 4}$, dove 0, 2, 4 sono le classi $[0], [2], [4]$. Quindi so che ...

"Dimostrare che ogni dominio finito e' un campo" Io ho ragionato in questo modo. Per far si che un gruppo finito sia un campo devo vedere che ogni elemento preso e' invertibile. Prendo $a∈R$, con R che e' il mio dominio, devo dimostrare che esiste $b∈R$ tale che $ab=1$ Io so che R e' un dominio finito quindi che ogni elemento ha ordine finito. Suppongo che n sia l'ordine di a e m quello di b quindi prendendo il prodotto $nm$. ...

Buonasera, ho il seguente esercizio: "Scrivere le presentazioni dei seguenti gruppi: $ZZ_20 ZZ_20* D_20 V_4 A_4$ Io ho fatto in questo modo: $ZZ_20$ e' ciclico per cui ha un solo generatore che chiamo a e la presentazione e' $<a:a^20=e>$ $ZZ_20$* ha 8 elementi, ed e' isomorfo a $ZZ_2xZZ_4$ quindi prendo due generatori a,b e la presentazione e' $<a,b:a^2, b^4, ab=ba>$ per $D_20$ ho i generatori che sono R e S e la presentazione e' $<R,S: R^20=e, S^2=e, SR=SR^19>$ $V_4$ e' ...

"Sia R un anello commutativo e siano $I,J⊂R$ due ideali coprimi, vale a dire $I+J=R$. Dimostrare che per ogni $m≥1$ si ha che $I^m+J^m=R$." Io ho pensato di sfruttare il fatto che se due ideali sono coprimi allora per ogni $i,j∈R$ $i+j=1$ quindi questa cosa dovrebbe valere anche per $I^m$ e $J^m$ ma non so come proseguire

Salve, ho due dubbi sul teorema di Zermelo, che asserisce che in ogni insieme non vuoto esiste una relazione di buon ordine. 1) In base al teorema, in R e in Q esistono relazioni di buon ordine. E quali sarebbero? 2) Tali relazioni sono uniche? In N, per esempio, ce n'è un'altra oltre quella usuale $<=$?

Determinare tutti gli omomorfismi da $Z$/$12Z$ $->$ $Z$ / $7Z$. Devo considerare i sottogruppi di Z/12Z e successivamente uguagliarli al nucleo dell’applicazione ? Ho un solo esercizio svolto di questa tipologia e non lo capisco

Devo svolgere questo esercizio bello lungo... Sia $R$ l’anello $mathbb(Z)<em>$ degli interi di Gauss. (a) Dimostrare che ogni ideale non nullo di $R$ contiene un intero positivo. (b) Dimostrare che ogni ideale non nullo di $R$ ha indice finito. (c) Dedurre che gli ideali primi non nulli di $R$ sono massimali. (Sugg: Dimostrare che ogni dominio finito è un campo) (d) Dimostrare che $ R^(\ast) = {±1, ±i} $ (e) Dimostrare che ...

Salve,l'esercizio mi chiede di determinare: \( 35267^(1000) \equiv ?? mod9 \) Io l'ho svolto in questa maniera: \( 35267\equiv 5 mod9 \) Per il corollario del piccolo teorema di Fermat si ha che: \( MCD(5,9)=1\rightarrow 5^8\equiv 1 mod9 \) dunque: \( 35267^(1000)\equiv 5^(1000)=(5^8)^(125)\equiv 1mod9 \) I valori in parentesi sarebbero gli esponenti. Ma il risultato,controllando con un tool online,dovrebbe essere 4. Che cosa ho sbagliato?

Ho il seguente esercizio che non ho idea di come si può risolvere: Si provi che le operazioni di addizione e moltiplicazione definite su $ZZ$ sono ben poste. Ora sapendo che le operazioni suddette sono definite come: $(bar (n , m)) +(bar (n' , m')) = (bar (n+n' , m+m'))$ $(bar (n , m)) * (bar (n' , m')) = (bar (n n'+mm' , n'm+nm'))$ come lo dimostro?? Grazie 1000

Dato l’anello $ZZ/9ZZ$ Determinare gli ideali dell’anello e indicare quali sono gli ideali massimali e quali quelli primi dando una giustificazione. In generale quelli sono gli anelli primi e massimali dell’anello $ZZ/nZZ$ ?

Ho il seguente esercizio: "Sia G un gruppo abeliano di cardinalita' n. Dimostrare che per ogni divisore $m>0$ di n, esiste un sottogruppo H di G con cardinalita' m" Io ho pensato di procedere per induzione: Suppongo che $|G|=1$ e quindi $m=1$ esiste il sottogruppo $H$ di ordine 1 che coincide con G Suppongo vero per $|G|<n$ e lo dimostro per n, $n=ma$ Se m e' primo non ho nulla da dimostrare Se m non e' primo posso scomporlo ...