Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti, ho un problema con questa dimostrazione. Ecco il quesito. "Dimostrare per induzione che $ n! \geq 2^(n-1) $ per ogni $ n \geq 1 $." Questo è il mio procedimento, ma ad un certo punto non riesco più ad andare avanti. Base dell'induzione: $ n = 1 $ quindi $ 1! \geq 2^0 $ cioè $ 1 \geq 1 $. Suppongo che $ n! \geq 2^(n-1) $ e dimostro che $ (n+1)! \geq 2^((n+1)-1) $. $ (n+1)! $ si può scrivere anche come $ (n+1)n! $ quindi diventa $ (n+1)n! \geq 2^((n+1)-1) $. Ora come ...

ciao a tutti, mi scuso fin da ora per la domanda, ma non potendo seguire le lezioni spesso mi blocco in cose per molti ovvie. Da quello che ho capito, esistono metodi furbi per poter calcolare le potenze delle congruenze. Studiano ho visto che ogni numero può essere espresso come potenza di due: $a=2^{k_1}+2^{k_2}+2^{k_3}....$, giusto? a questo punto però le cose cominciano a non essermi chiare. In particolare dovrei risolvere il seguente esercizio: calcolare $271^{321} (mod 481)$. Nell'esercizio si fa notare ...

Salve, ho un problema con questo teorema che non riesco (in parte a dimostrare) e di conseguenza (in parte) a capire. L'enunciato è il seguente: Sia [tex]f : A \rightarrow B[/tex] un'applicazione qualsiasi. Esiste allora un insieme [tex]C[/tex] e due applicazioni [tex]f_s: A \rightarrow C[/tex] (surgettiva) ed [tex]f_i: C \rightarrow B[/tex](iniettiva) tali che [tex]f_i \circ f_s = f[/tex]. Inoltre se esiste un insieme [tex]D[/tex]tale che esistono altre 2 applicazioni [tex]\overline{f_s} ...

Ciao a tutti, è il mio primo post sul forum. Non riesco a dimostrare la suriettività di un isomorfismo riguardo una proprietà universale sugli anelli gruppali. Visto che non sono una struttura così comune, ricordo la definizione di anello gruppale che è piuttosto semplice, dato un gruppo $G$ e un anello unitario $R$, l'anello gruppale $RG$ è l'anello delle somme formali finite, ovvero elementi della forma: $$ \alpha = \sum_{g\in ...

Ciao a tutti, non riesco a capire come svolgere il seguente esercizio : Utilizzando il teorema di Fermat dire per quali n∈Z il numero 9$n^30$+4$n^21$+7$n^11$+2 è multiplo di 11. Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo

Questa è la traccia. 1) Nel monoide $(N^N, @ )$ delle applicazioni di $N$ in $N$ ( dove $@$ è l'ordinaria operazione di composizione tra applicazioni ) si consideri la parte $F={f in N^N : f $ è biettiva e $f(1)=1}$. (i) Verificare che $F$ è una parte chiusa di $(N^N,@)$ (ii) Rispetto all'operazione indotta, $F$ è un gruppo? (iii) Dare un esempio di applicazione non identica $ginF$ e costruirne ...

Questa è la traccia. 1) Dire per quali coppie $ (a,b) in Z xx Z $ esistono quoziente e resto e come questi sono definiti (enunciare il relativo teorema). Dato un campo $ F $ , dire per quali coppie $ (f,g) in F[x] xx F[x] $ esistono quoziente e resto e come questi sono definiti (enunciare il relativo teorema). Determinare quoziente e resto nella divisione (in $ Z $) di $ a $ per $ b $ in ciascuno dei seguenti casi: (i) $ a=15, b=4 $ (ii) ...

Buonasera! Sto cercando di risolvere il seguente esercizio: Sia \(\displaystyle p \) un primo dispari. Dimostrare che se esiste un intero \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle p|(x^4+1) \), allora \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \). Per adesso ho ragionato così: anzitutto ho osservato che \(\displaystyle x^4+1 \) è riducibile per ogni primo \(\displaystyle p \) dispari. Infatti: [*:303f0ig6]se \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \(\displaystyle p \equiv 7 ...

Salve, ho il seguente esercizio. Ho provato a farlo, ma da subito ho un risultato contrastante, sono io che sbaglio? Per favore potreste darmi una mano? Mille grazie. Ecco l'esercizio: tramite il principio di induzione matematica, stabilire se è vero che, per ogni $n \in \mathbb{N}$, si ha: $\sum_{k=-1}^\n ( \frac{1}{5} )^k = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} )^n$ Per $n=-1$ $P(-1) : (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4}(\frac{1}{5})^{-1}$ $5 = \frac{24}{5} - \frac{5}{4}$ $5 = \frac{20}{4}$ $5 = 5$ $P(-1)$ è vera. per $n=1$, se non erro dovrebbe essere il ...

Un gioco di costruzione per bambini è costituito da pezzi di uguale forma e dimensione e che possono essere verdi, rossi o gialli. a)Quante diverse distribuzioni di colori possiamo trovare in una scatola che contiene $28$ pezzi? Secondo me sono [tex]3^{28}[/tex]. È giusto? b)Marina vuole fare una costruzione usando $12$ pezzi che le servono se vuole che ci siano almeno $4$ rossi oppure $4$ verdi? Qui proprio non saprei partire. Forse ...

Ciao a tutti, sto tentando di destreggiarmi nella comprensione della dimostrazione dell'esistenza dell'estremo superiore nel reticolo $ (R,vv ,^^ ) $ con relazione d'ordine$ <= $. Vi riporto quello che c'è scritto sul mio libro: $ AA a,b in R $ 1) $ a <= avv b $ infatti $ a ^^ (avv b) $ 2) $ b <= avv b $ infatti $ b^^ (avv b)=b^^ (bvv a)=b $ 3) sia ora $ cin R $ tale che $ a<= c $ e $ b<= c $. Da $ a^^ c= a $ e $ b^^ c=b $ segue ...

Salve ragazzi, sto provando a risolvere un esercizio semplice ma non capisco alcune cose.La traccia è: Sia X un insieme non vuoto. Trovare una funzione iniettiva da X nell'insieme delle parti di X. Ora io ho provato a risolverlo considerando un insieme con due elementi scelti da me,"a" e "b", e considerando l'insieme delle parti, ma non riesco ad andare avanti. Grazie in anticipo

ciao a tutti, Ho il seguente esercizio: Sia $n=pq$, ove $p,q$ sono due primi distinti. Siano $r,s,t$ tali che $rs+\phi(n)t=1$. Si mostri che $a^{rs}\equiv a(mod n)$. Sicuramente ci sono due casi, il caso in cui $gcd(a,n)=1$ e tutto segue poi da Eulero-Fermat. Caso un po' più complicato è quando $gcd(a,n) \ne 1$. Io sono già bloccato con il primo. Qualcuno potrebbe darmi un aiuto? Grazie

Ciao ragazzi! Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio. Nel punto uno, ci chiede di trovare in quanti modi si possono scegliere 4 gusti diversi per un cono e la risposta è (15 4) che associo al numero di COMBINAZIONI SEMPLICI ovvero (n k) giusto?! Nel punto 2 poi ci chiede nella prima parte di trovare I modi di scegliere un gusto tra i 3 favoriti e 2 gusti diversi, quindi qui applicherei la formula per calcolare il numero delle combinazioni semplici. (scritta alla fine ...

Ciao amici, ho un esercizio di algebra : Siano \(\displaystyle S \),\(\displaystyle T \),\(\displaystyle V \),\(\displaystyle W \) insieme non vuoti e siano \(\displaystyle f \) : \(\displaystyle S \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle T \), \(\displaystyle g \) : \(\displaystyle T \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle W \) e \(\displaystyle h \) : \(\displaystyle V \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle W \) tutte applicazioni. Provare che, se le ...

Sia v è una valutazione come definita qua https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra) cioè un omorfismo dal gruppo moltiplicativo di un campo K ad un gruppo abeliano totalemte ordinato che verifica certi assiomi. Ora io non riesco a capire bene il perchè "the valuation ring of v, denoted Rv is the set of elements a of K such that v(a) ≥ 0, it is a valuation ring". Mi è chiaro che Rv è stabile rispetto al prodotto, e mi è chiaro che dimostrato che è un anello allora è di di valutazione ma non mi è chiaro perchè sia ...

Buonasera ragazzi c'è qualcuno che mi spiega in modo chiaro tutti i passaggi della assioma della scelta. Se devo postare l'assioma ditemolo che lo riporto. Grazie

Buon pomeriggio, sono qui a cercare di risolvere qualche prova d'esame di Algebra 2, mi date qualche aiutino e volendo un pò di supporto psicologico? Se vi avanza? Il problema è che il primo esercizio ha abbastanza senso (correggetemi se sbaglio) ma il secondo mi manda in panico. Qualche suggerimento? Ex 1 Sia $(F_{11},+,\cdot)$ un campo finito con 11 elementi. Sia $<X^3+X+1> \sub F_{11}[X]$ l'ideale generato dal polinomio $X^3+X+1$ in $F_{11}[X]$ e definisci l'anello quoziente ...

Ciao a tutti, questo è il mio primo post sul forum. Non riesco a dimostrare questa proposizione di matematica discreta sulle congruenze: Sia $ a in Z $. Se $ a $ ammette un inverso aritmetico $ u (mod n) $, allora sono inversi aritmetici di $ a (mod n) $ tutti e soli gli elementi dell'insieme $ <span class="b-underline">_n = {u+kn|k in Z} $. Potete aiutarmi?

11 dipendenti di un'azienda vengono iscritti ad un corso di aggiornamento di informatica che prevede una valutazione finale con esito A, B, C, D. a) Quanti sono gli anagrammi della parola DIPENDENTI? A me risulta $(10!)/16$ confermate? b) A fine corso l'azienda esamina i voti ottenuti dagli 11 partecipanti per valutare eventuali avanzamenti di carriera. Quante sono le possibili liste di voti possibili? A me risulta $4^11$ confermate? c) L'azienda esamina inoltre l'esito ...