Suriettività omomorfismo sottogruppo di $G$

[algibro]

Dato un omomorfismo $f$ di $(G,*)$ in $(G', \star)$ mi si chiede di provare che
i) $f(G)={f(a): a \in G}$ è un sottogruppo di $G'$;
ii) $f$ è suriettivo se e solo se $f(G)$ eguaglia $G'$.

Per quanto concerne la i) abbiamo che per ogni elemento $a \in G$, $f(a) \in G'$ pertanto sicuramente $f(G)={f(a): a \in G} \subseteq G'$ e la legge associativa vale in $G'$ perciò vale certamente in $f(G)$ che è un sottoinsieme di $G'$.
Ora, dati $a, 1_G \in G$, $f(a) \star 1_{G'}=f(a)=f(a*1_G)=f(a) \star f(1_G)$ e per la legge di cancellazione otteniamo che $f(1_G)=1_{G'}$ così l'elemento neutro di $G'$ sta in $f(G)$
Inoltre, ogni elemento $a \in G$ ha il proprio inverso $a^{-1} \in G$ e quindi anche $f(a^{-1}) \in f(G)$.
Poiché $f(1_G)=f(a*a^{-1})=f(a) \star f(a^{-1})=1_{G'} \in G'$
ogni elemento $f(a) \in f(G)$ ha il proprio inverso $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$ in $f(G)$.
Segue che, se definiamo l'operazione $\star$ in $f(G)$, quest'ultimo è un sottogruppo di $G'$.

Ora per quanto riguarda invece la ii) ho diversi dubbi che spero possiate chiarirmi.
Ho ragionato come segue: Se $o(G)o(G')$ senza dubbio $f$ è suriettiva ma in tal caso non si verifica quanto richiesto, ossia $f(G)$ non eguaglia $G'$. L'unica possibilità per cui $f(G)$ eguaglia $G'$ e $f$ è suriettiva si ha se $f$ è una corrispondenza biunivoca, cioè se $f$ è anche iniettiva.
Ho pensato quindi che provando l'iniettività di $f$ avrei provato la ii), ma la cosa non mi riesce.
So che se $Ker f ={1_G}$ allora $f$ è iniettiva, ma come posso escludere che $f$ "mandi" solamente $1_G$ in $1_{G'}$ ?

[killing_buddha]

Mi sembra quasi una tautologia. Se c'è un elemento $g$ di $G'$ che non sta in $f(G)$, allora il sottogruppo \(\langle g\rangle\) è un sottogruppo non contenuto in $f(G)$, che quindi è diverso da $G'$. Se viceversa...