Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve, ho trovato questa dimostrazione della numerabilità di N×N che non riesco a comprendere al meglio dato che non capisco il simbolo usato cosa sia (un coefficiente binomiale??)
In ogni caso vi chiederei un aiuto per la dimostrazione
Grazie mille a chi risponderà
Il problema è dimostrare che se un gruppo $G$ ha ordine pari allora esiste in $G$ un elemento $a$ di ordine $2$.
In un gruppo possiamo avere che tutti gli elementi coincidono con il loro inverso, in tal caso hanno tutti ordine $2$.
Se ne trovassimo uno che non coincide con il proprio inverso, essendo quest'ultimo unico per ogni elemento, dovremmo avere in $G$ almeno un altro elemento che non coincide con il ...
Salve ragazzi,come potete vedere la traccia richiede di determinare le radici del polinomio in $ Z_2 $ ed eventualmente scomporlo in fattori non ulteriolmente scomponibili in $ Z_2 $.
Che il polinomio iniziale non abbia radici,nessun problema,quello che mi chiedo,ma perchè non è riducibile? Nell'ultima riga mi pare sia scritto il polinomio iniziale come prodotto tra due polinomi di 2 e 3 grado,non ulteriormente scomponibili in $ Z_2 $, dunque a mio parere DOVREBBE ...
Salve. E' da un po' che ci sbatto la testa e francamente non riesco a venirne fuori. Dovrei provare che per ogni insieme $ A $ , l'unico elemento regolare (detto anche elemento cancellabile) in \( (\mathscr{P}(A),\cup ) \) è l'insieme \( \varnothing \)
Avreste consigli su come procedere? Ho già tentato la strada secondo cui un elemento, se è simmetrizzabile, allora è cancellabile. E' vero che il vuoto in questa struttura risulta essere l'unico simmetrizzabile, ma qui secondo ...
Salve, sto provando da un giorno a svolgere questo esercizio sulla teoria di Galois, di cui ho svolto gli ultimi 3 punti. Però non so dove mettere le mani per quanto riguarda i primi due:
Sia $finQ[x]$ polinomio di grado 6 con $Gal(f/Q)~=S_6$. Chiamando $E$ il campo di spezzamento di f
i)Determinare i corpi intermedi $QsubeFsubeE$ tali che $[E]=9$
Beh qui io avevo pensato di provarci con la teoria di Sylow, arrivando a poter ammettere solo questi casi ...
Mi si chiede "quanti generatori ha un gruppo ciclico di ordine $n$ ?". La vaghezza [nota]Ad esempio, nello specifico, so che il gruppo $(ZZ,+)$ è generato da $-1$ e $1$, $(ZZ_m, +)$ da tutti gli elementi $a_m \in ZZ_m$ tali che $(a,m)=1$[/nota] della domanda mi ha messo in difficoltà.
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico di ordine $n$.
Allora so che esiste un elemento $a \in G$ tale che il sottogruppo ...
Buonasera,
vi enuncio un po di definizioni e poi vi scrivo il teorema di cui non ben capito la dimostrazione.
Sia $mathbb(K)$ un campo e sia $S\subseteqmathbb(K)[x_1,...x_n]$. Si definisce varietà algebrica associata a $S$ l'insieme $V_S={x\inmathbb(K)^n:f(x)=0 \forallF\inS}$
Se $S={f_1,...,f_t}\subseteqmathbb(K)[x_1,...x_n]$ allora si definisce $I(V_S)={a_1f_1+...+a_tf_t:a_i\inmathbb(K)[x_1,...x_n]}$, ossia l'ideale generato da $S$.
Definisco $\mathbb(K)[V_S]=mathbb(K)[x_1,...x_n]//I(V_S)$
OSSERVAZIONE: la funzione $v_P:\mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K):f\mapstof(P)$ è detta valutazione in $P\inV_S$ ed è suriettiva ...
Buongiorno a tutti, vi chiedo gentilmente una mano per l'esercizio che segue:
Sia $S=ZZ\\13ZZ$:
a) Dimostrare che $S^(-1)ZZ$ è un anello locale;
b)Calcolare $Res(S^(-1)ZZ)$.
a) Posso dire che $S$ è un anello locale. Ora devo dimostrare che gli elementi non invertibili di $S^(-1)ZZ$ costituiscono un ideale, il problema è che non riesco a capire come siano fatti questi elementi.
b) Mi serve il punto a) quindi non posso nemmeno pensarci.
Buonasera, in un tema di esame di algebra 2 è richiesto di fornire un esempio di dominio di integrità che non sia noetheriano. Può essere giusto prendere l'anello dei polinomi $mathbb(K)[X]$ dove $mathbb(K)$ è un campo?
Buonasera, in un tema di esame di algebra 2 un esercizio chiede di fornire un esempio di sistema moltiplicativo che non sia un gruppo. Chiedo se è corretto considerare un insieme $S$ su cui definisco il prodotto, in cui non è vero che ogni elemento ammette inverso bilatero ma che soddisfa:
i) $1\in S$;
ii) per ogni $s,t\in S, s*t\in S$, ad esempio $(mathbb(Z\\{0}), *)$?
Buonasera ragazzi, volevo chiedervi delucidazioni riguardo la dimostrazione del teorema della base di Hilbert (R noetheriano -> R[T] noetheriano) che non ho ben capito a lezione.
In particolare non ho capito perché si prende l'ideale generato dai coefficienti direttori e nemmeno le conseguenze di questa scelta.
Potete spiegarmi perfavore?
Buonasera a tutti,
ho un esercizio in cui mi si chiede:
"Si determinino l'ordine ed i tipi di isomorfia dei p-Sylow di $D_18$, il gruppo di simmetria dei poligoni regolari di 18 lati"
Mio svolgimento
Sappiamo che:
$|D_18|=36=2^2*3^2$
Quindi ho 2-Sylow e 3-Sylow.
Incrociando la prima e seconda legge di Sylow si deduce che il numero dei p-Sylow è:
per i 2-Sylow un numero tra 1, 3 e 9; per i 3-Sylow un numero tra 1, 4.
Come faccio a determinare il numero di elementi, ...
Ciao a tutti, sono incappata in questa proprietà dei numeri di Fibonacci: (con $F_i$ intendo l'$i-$esimo numero di Fibonacci, con $F_1=F_2=1$ e $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$).
$5\sum_{i=0}^{n-1}F_{2i+1}^2=F_{4n}+2n$
Ho provato a dimostrarla utilizzando la formula di Binet, secondo la quale
$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$
con $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
e di conseguenza $\alpha\beta=-1$, $\alpha+\beta=1$ e $\alpha-\beta=\sqrt{5}$
utilizzando tali proprietà sono arrivata a
$5\sum_{i=0}^{n-1}F_{2i+1}^2=\sum_{i=0}^{n-1}(\alpha^{4i+2}+\beta^{4i+2})+2n$
Di ...
Ammettiamo io abbia un gruppo $(G,*)$ avente ordine infinito e supponiamo che per un elemento $a \in G$ che genera il sottogruppo $(a)={a^i: i \in ZZ}$ esistano $m,n \in ZZ, m>n$ tali per cui $a^m=a^n$, così che $(a)$ è un sottogruppo di $G$ avente ordine finito $p=m-n$ (dove a $p$ chiediamo di essere il più piccolo intero tale per cui $a^p$ sia l'elemento neutro).
A questo punto, possiamo dire che, per ...
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi un aiuto per un esercizio di algebra astratta.
"Si mostri che in $Z[-5^0.5]$ non esiste una unica suddivisione in elementi irriducibili"
Mio tentativo
Significa che cerco una suddivisione del mio polinomio generico nella forma $P_1*P_2$, con i $P_i$ irriducibili e gradi dei $P_i$ maggiore di zero.
Ho provato ad impostare il problema considerando il polinomio generico:
$a+b*(-5)^0.5$ con $a,b in Z$.
Se a e b sono ...
Questa domanda è per me difficile, riflette una mia particolare ricerca: cercare di capire se esiste un punto di 'contatto' (matematico) tra il discreto e il continuo, in particolar modo un'invarianza tra la topologia discreta e topologia non-discreta, indifferente se indotta da una metrica discreta o non perchè il problema è qui è proprio la relazione che lega la matematica discreta (pensiamo alla teoria dei grafi applicata alla allocazione dei registri, tipo generatore di parser) e quella non ...
Ciao a tutti ragazzi,
ho deciso di registrarmi perché ho letto alcune discussioni e trovando grande chiarezza mi piacerebbe avanzare la mia domanda e vedere se qualcuno riuscirà a fugare i miei dubbi.
Come da titolo del thread mi accorgo di non digerire molto la logica dell'induzione, principalmente in due punti:
1) Quel che mi chiedo è, dato che dalla logica infusami al liceo (quella poca che si fa) io so che dal falso puà nascere per implicazione qualunque cosa se x => y. Nel caso di x ...
Ciao a tutti,
sto provando a risolvere il seguente:
"Si consideri il gruppo $G=G_n=GL_n(\mathbb F_p)$, con p numero primo: si determini gli p-Sylows di G"
Mio tentativo
Dalla formula ricorsiva per la cardinalità di $GL_n(\mathbb F_p)$ ho:
$|G_n|=p^{n-1}*|G_{n-1}|*(p^n-1)$
che per esteso significa ripetere per $n-1$ volte la formula ricorsiva (fino a che $|G_{n-1}|=1$):
$|G_n|=p^{n-1}*(p^n-1)*p^{n-2}*(p^{n-1}-1)*p^{n-3}*(p^{n-2}-1)*...*p*(p^2-1)$
Vorrei quindi scrivere la cardinalità nella forma: $|G_n|=p^r*m$, in modo tale da poter applicare i teoremi ...
Ciao a tutti,
sto facendo esercizio sull'irriducibilità di polinomi e dovrei usare il criterio di Eisenstein per controllare $ [f(x) = x^n - p] in Q $, con $ n in N $ e $ p $ numero primo.
$ f $ è monico, quindi è primitivo e di grado $n>0$;
posso inoltre considerare il polinomio in $ Z[x] $ invece che in $ Q[x] $ per poter applicare il criterio di Eisensein:
$ (i) $ $ p $ non divide ...
Salve a tutti,
ho passato troppo tempo a cercare di capire una soluzione di un esercizio di teoria dei campi prima di rendermi conto che ci sono dei passaggi errati, quindi questo mi fa pensare che anche quello che sto cercando di mostrare potrebbe non essere vero.
OT: Dire che $X^7-11$ e' irriducibile in $Q[X]$ per Eisenstein con $p=11$ e poi affermare (e usare anche questa affermazione successivamente) che $[QQ[11^{frac{1}{7}}] : QQ]=2$ non ha senso, vero?
Perche' viene ...
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