Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Ho una domanda (spero stupida e dovuta solo alla mia stanchezza) sulle estensioni semplici di campo di Galois:
In un esercizio mi viene data una estensione di campi $QQ \subseteq E$ che poi si scopre essere di Galois perché $E$ è campo di spezzamento di un polinomio in $QQ[X]$, ossia un polinomio separabile poiché $QQ$ è perfetto.
Successivamente determino come è fatto il gruppo di Galois (che chiamerò $G$), nel senso che determino proprio ...
Buonasera, chiedo un aiuto per il seguente esercizio:
Sia $\sigma\ in\ S_11$ la permutazione definita da
$\sigma =((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), (10, 6, 1, 7, 11, 9, 8, 4, 5, 3, 2))$.
(1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l’ordine e la parità
di $\sigma$.
(2) Si dica (giustificando la risposta) se esistono omomorfismi non banali dal sottogruppo $<\sigma>$, generato da $\sigma$, al gruppo $(mathbb(Z))/mathbb(11Z)$.
Sul primo punto non ho problemi. Ho che la parità è +1 e l'ordine è 15.
Sul ...
Ciao a tutti, ho bisogno di voi: sono alle prese con questo esercizio che credo di aver fatto giusto ma volevo capire da voi se il ragionamento è corretto oppure no!
Il testo dell'esercizio recita:
Sia G un gruppo di ordine 189 in cui i sottogruppi di Sylow sono tutti abeliani. Si determinino i possibili tipi di isomorfismi di G.
Io ho ragionato così:
$ |G| = 189 = 7 * 3^3 $
quindi la cardinalità dei 7-sylow deve dividere $ 3^3 $ quindi può essere $ n_7 = {1,3,9,27} $, ma nessuno di questi ...
Buonasera,
Non riesco a dimostrare il seguente fatto:
Sia $G$ un gruppo finito. Se $G$ ha solo due classi di coniugio, allora $G\cong \mathbb(Z)_2$.
Ho provato in vari modi ma non riesco...
Ad esempio considerando l'azione $G\timesG->G:(g,h)\mapstoghg^1$ ho che le orbite sono le classi di coniugio di $G$ quindi
$2=1/(#G)\sum_{g\inG}#\text(fix)(g)$, ove $\text(fix)(g)={h\inG:ghg^-1=h}$
$2=1/(#G)\sum_{g\inG}#\text(fix)(g)\Leftrightarrow #G=\sum_{g\inG-{e}}#\text(fix)(g)$
ma non riesco a concludere nulla...
Similmente visto che la cardinalità di ...
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio di algebra, e vorrei chiedervi conferma che siano giusti i passaggi che ho fatto, e aiuto su come proseguire
"Sia dato il Gruppo $G = GL_2(F_2)$, con $F_2$ il campo dove vale $1+1=0$. Si risponda alle domande:
1) G è abeliano?
2) Quale è la dimensione di G?
3) Considerato il sottogruppo $<((0,1),(1,1))>$: è un sottogruppo normale?
4) Si trovino generatori e relazioni per G
Mio svolgimento (vi prego di ...
Ciao,
sia $G = \langle g \rangle $ gruppo ciclico di ordine 90, quanti sottogruppi di ordine 15 ha $\langle (g^6) \rangle \times \langle (g ^10) \rangle$?
Della forma $A \times B$ ho trovato che ha solo $\langle (g^6) \rangle \times \langle 1 \rangle$ e $\langle (g^18) \rangle \times \langle (g ^30) \rangle$, potete darmi qualche suggerimento per verificare se ce ne sono altri?
Ciao , ho problemi con questo esercizio:
Considerato il gruppo additivo ( Q, +) e il suo sottogruppo (Z,+)
1) Dimostrare che ogni elemento di Q/Z ha ordine finito.
2) Dimostrare che per ogni n $in$ N-{0} esiste ed è unico un sottogruppo di Q/Z ciclico di ordine n
Non ho le idee molto chiare, gli elementi di Q/Z che forma hanno?
Buonasera a tutti!
Sono uno studente di ingegneria dell'automazione e spero qualcuno di voi abbia la clemenza e la pazienza di rispondere a questa domanda (credo) banale. Non sono affatto confidente con i concetti di algebra come anelli, gruppi, moduli ecc... ma ora mi servono per curare una piccola parte della tesi.
Domanda: come faccio a mostrare formalmente che data la coppia di matrici (A(\nabla),B(\nabla)) descriventi un sistema del tipo \dot{x}(t)= A(\nabla)x(t)+B(\nabla)u(t), l'insieme ...
Buongiorno, ho il seguente esercizio:
"Sia G un gruppo. Dimostrare che un sottogruppo normale di G e' unione disgiunta di classi di coniugio"
Io ho ragionato in questo modo ma non so se e' corretto perche' non utilizzo che il sottugruppo e' normale:
Prendo l'azione di G su N che e' il mio sottogruppo normale $G x N -> N$
Devo innanzitutto dimostrare che ogni elemento di N sta in qualche classe di coniugio. Ma questo e' ovvio per il fatto che se io prendo un qualsiasi x in N ho che questo ...
Ciao ragazzi, scusate se vi disturbo.
Ho bisogno di chiedervi un aiuto grande, grande: faccio matematica e mi mancano 2 esami alla laurea, uno di questi è l'esame di Algebra 2 (che è praticamente una teoria di gruppi)
Ho grandissimi problemi con molti esercizi perché non capisco come iniziare i ragionamenti.
Volevo proporvi questo esercizio (che mi sembra abbastanza banale ma essendo troppo generale non so da dove partire)
[size=150] Sia G un gruppo finito. Determinare tutti i possibili ...
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Sia A un anello commutativo e I$subseteq$ A un suo ideale. Si definisce radicale di I in A l'ideale
$sqrt{I}$={ a $in$ A | $exists$ n $in$ N t.c a^n $in$ I }
1) Dimostrare che I $subseteq$ $sqrt{I}$, e che $sqrt{sqrt{I}}$= $sqrt{I}$
2)Sia A= Z e I= 4Z, si calcoli esplicitamente $sqrt{I}$
Grazie in anticipo a chi mi rispondera
Buonasera, chiedo gentilmente una mano con l'esercizio che segue:
Sia A l'anello
$A\ =\ {((a, b),( b, a))\ :\ a,b\ in\ mathbb(Z)/(3mathbb(Z))}$
1) Determinare gli elementi non unitari di A;
2) Mostrare che A ha solo due ideali propri (diversi dagli ideali banali A e ${0}$).
Parziale svolgimento:
1) Gli elementi non unitari di $A$ sono quelli non invertibili, cioè le matrici di coefficienti in $mathbb(Z)/(3mathbb(Z))$ con determinante uguale a zero. Ciò avviene per:
-$a=b$;
-$a=[2],\ b=[1]$, ...
C'era una cosa che mi sono chiesto praticamente subito dopo che mi è stato definito il gruppo simmetrico $Sym(X)$ su un insieme $X$ (non c'è bisogno che riporti la definizione, la conoscete tutti), ma che poi avevo accantonato, ora la chiedo a voi.
La domanda si può formulare così: cosa si può dire sulla cardinalità di $Sym(X)$?
Ad esempio si sa che $|X|=n\inNN=>|Sym(X)|=n!$, si può osservare che nel caso finito ($n>=4$) $|Sym(X)|=n!>2^n=|P(X)|$, ma comunque in fondo ...
Vorrei conoscere la geometria algebrica, ho con me il libro di algebra dummit e foote, abstract algebra che devo iniziare a leggere, ma oltre a questo non ho nessun riferimento, non ho idea di quali nozioni ricercare ne tantomeno dove trovarle.
Nella migliore delle ipotesi il libro che possiedo mi impegnerà per qualche mesetto, non ho fretta, ma mi piacerebbe avere un percorso in mente, libri utili, argomenti vari per avere una idea della strada da percorrere.
Penso mi sarà necessario un forum ...
Buona sera... Chiedo un sostegno per l'esercizio che segue:
Sia A un sottoanello del campo dei numeri reali definito da $A={a + b*sqrt(3) : a,b\ in\ mathbb(Z)}$.
a) Verificare che l'insieme $I={3*x+y*sqrt(3) : x,y\ in\ mathbb(Z)}$ è un ideale di A.
Prima domanda: Se non mi viene specificato che tipo di ideale sia, è sufficiente far vedere che è destro\sinistro o devo far vedere che è bilatero?
In ogni caso, io ho provato a svolgerlo (e qui chiedo solo se è corretto o meno) in questo modo:
Per prima cosa verifico che la somma di due ...
Volendo dimostrare che l'insieme $\varphi (m)$ dei naturali minori di $m$ e primi con $m$ è uguale all'insieme dei naturali tali che le rispettive classi di congruenza risultino invertibili nell'insieme quoziente $\mathbb{Z}_m$.
Se $a \in {a \in \mathbb{N} : a_m \in \mathbb{Z}_m \ "e" \ \ a_m \ "e' invertibile" }$ allora sicuramente $a \equiv r (mod m)$ ossia $a-r=mk \Rightarrow a=mk+r$ con $r<m$ per un opportuno $k \in ZZ$ ed essendo $a_m$ invertibile $M.C.D.(a,m)=1$ Quest'ultima uguaglianza implica ...
Buongiorno, chiedo uno spunto sul seguente esercizio:
Sia A un anello e I un ideale sinistro di A. Mostrare che $J={x in A\ t.c.\ x*i=0\ per\ ogni\ i\ in I}$ è un ideale bilatero di A.
Grazie in anticipo
Buonasera,
ho il seguente esercizio:
"sia $R=ZZ<em>$ dimostrare che ogni ideale primo non nullo di R contiene almeno un numero primo"
Io ho pensato di risolverlo in questo modo:
Io so che tutti gli ideali primi di $ZZ<em>$ sono di due tipi:
o $(p)$ con $p=3(mod4)$ e primo
o $(a+ib)$ con $N(a+ib)=a^2+b^2$ un numero primo.
Considero il caso in cui I ideale di R abbia la forma $(p)$ con $p=3(mod4)$, in questo caso non ho nulla da ...
Mi potreste aiutare a risolvere delle semplici congruenze?
Io non ho capito molto e guardando in giro su internet non sono riuscito a schiarirmi le idee.
Ad esempio 121x=22 (mod 33)
MCD(121,33)=11 11|33-->Si quindi continuo
K=33/11=2
2+33/11h --> 2+3h
Le 11 soluzioni non congrue non sono:2,3,8,11,14,17,20,23,26,29
La soluzione della traccia però è 31 + 3h e quindi non coincide con la mia
Questo è il modo con cui tento di """risolvere""" le congruenze lineari... ma purtroppo credo ...
Salve a tutti,
sono uno studioso di filosofia con una formazione schiettamente filosofica e teoretica. Negli ultimi anni mi sono avvicinato a piccoli passi nei sentieri della cosiddetta ''filosofia analitica'', termine che designa un contemporaneo atteggiamento filosofico incentrato su temi linguistici, scientifici e logici. Per quanto concerne il linguaggio non ho mai avuto particolari problemi (considerando che è già tutto nel Cratilo di Platone...) mentre per quanto riguarda gli ambienti ...
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