Nuclei di endomorfismi idempotenti e successioni esatte associate

[killing_buddha]

Se $\varphi : A\to A$ è un omomorfismo di gruppi abeliani idempotente allora esiste una successione esatta corta
\[
0\to \ker \varphi\to \ker \varphi\to \ker \varphi\to 0
\] se \(K=\ker\varphi\), come si descrivono gli endomorfismi di \(\ker \varphi\) (equivalentemente, qual è l'elemento \([a]\in\text{Ext}^1(K,K)\) cui questa estensione corrisponde)? E' vero che se $[a]=0$ allora \(\varphi=1_A\)?

[otta96]

Ma intesi come $ZZ$-moduli? Altrimenti in che senso va intesa la successione esatta corta?

[killing_buddha]

Che differenza c'è tra un gruppo abeliano e uno $ZZ$-modulo? Vale comunque un risultato identico per $R$-moduli, se vuoi dimostrare quello la fatica è la stessa (credo senza alcuna ipotesi sull'anello, ma accetto controesempi).

[otta96]

È solo perché io una successione esatta corta so cos'è solo per i moduli, ed essendo un gruppo abeliano, l'unica cosa che mi è venuta in mente è di pensarlo come $ZZ$-modulo.
Comunque ci penso, e se mi riesce ti rispondo.