Trovare l'inverso di un polinomio

[KatieP]

In $(Z_3[x])/ ((f(x)))$ con $f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$, stabilire se $x^3 + (f(x))$ è invertibile e determinarne l'inverso. Io ho fattorizzato f(x) nei suoi fattori irriducibili e visto che $x^3$ non era tra questi, ho dedotto che fossero coprimi. Poi per trovare l'inverso ho eseguito la divisione euclidea tra $f(x)$ e $x^3$ , ma come resto ho ottenuto $x^2 + 1$ anziché 1. Suppongo sia un elemento associato ad 1, ma non so come provarlo, visto che non conosco chi siano tutti gli elementi invertibili del quoziente. La mia idea era sfruttare Bezout per trovare l'inverso, ma non so come ricondurre il resto a 1. Grazie.

[mauri54]

Ma io farei un menosissimo algoritmo euclideo tra $f(x)$ e $x^3$. E scoprirai che l'ultimo resto non nullo è 1 quindi la classe di $x^3$ è invertibile. Il suo inverso lo determini ricavandoti l'identità di Bezout e poi mettendo le classi.

Facendo l'algoritmo mi risulta
$ 2x^3+x^2+1=2\cdotx^3+ (x^2+1) $
$ x^3=x(x^2+1)-x $
$ x^2+1=(-x)(-x)+1 $

Quindi la classe di $x^3$ è invertibile nel quoziente.

Poi l'identità di Bezout mi viene $ (2x^3+x^2+1)(1-x^2)+(2x^2+x-2)x^3=1 $
Mettendo le classi otterrei che

$ \overline{(2x^2+x-2)}\ \overline{x^3}=\overline{(2x^3+x^2+1)}\ \overline{(1-x^2)}+\overline{(2x^2+x-2)}\ \overline{x^3}=\overline{1} $

Quindi l'inverso è $ \overline{2x^2+x-2}$