Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Avrei bisogno di aiuto per provare il seguente fatto.
Sia $G$ un gruppo nilpotente e $N$ un suo sottogruppo normale non banale. Vorrei allora provare che $[N,G]$ è un sottogruppo proprio di $N$.
Il mio tentativo:
Ho provato questo fatto.
Sia $H$ è un sottogruppo di $G$ e $N$ normale in $G$. Allora
$[H,G]<N$ se e solo se $HN/N\subset Z(G/N)$.
Come potrei usare questo fatto? ...
Ciao a tutti, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio
Dimostrare che ogni estensione algebrica di un campo $K$ di caratteristica $0$ ($char K = 0$) è separabile.
Ho provato a dimostrare ma senza usare il fatto che l'estensione è algebrica, quindi penso sia sbagliata:
Su un campo $K$ di caratteristica $0$ ogni polinomio non costante è separabile, ovvero $K$ è perfetto.
Sappiamo che ...
Ciao a tutti, sto facendo un esercizio ma non so se è del tutto giusto quindi chiedo a voi.
Sia $G = (ZZ$/$21ZZ$*$, ·)$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $ZZ$/$21ZZ$.
(a) Determininare tutti gli elementi di $G$.
(b) Dimostrare che il sottoinsieme $H = {1, 2, 4, 8, 16, 11} ⊂ G$ è un sottogruppo normale.
(c) Determinare $G$/$H$ a meno di isomorfismo.
(a) Grazie alla ...
Ciao a tutti, oggi cercando di fare un esercizio non sono riuscito a venirne fuori, premetto che non è il primo di questo tipo che faccio e che già avevo cercato sul forum per trovare dei suggerimenti.
In $QQ[x]$ esistono due polinomi $f,g$ tali che $1=f*(x^4+1)+g*(x^3−1)$ ?
Dalla teoria sappiamo che il termine a sinistra dell'uguale è l'MCD dei due polinomi. Quindi la domanda diventa
"i due polinomi $u=x^4+1$ e $v=x^3-1$ hanno MCD=1 ...
Ciao
Ho qualche domanda sui campi finiti:
1)E' vero che $\mathbb{F_{p^n}}$ $\tilde$ $ \mathbb{Z_p[x]}//(f(x))$ dove $((f(x))$ è l'ideale generato da un qualsiasi polinomio irriducibile monico di grado $n$? Perché ho letto che fra i polinomi irriducibili vi è una classe di polinomi detti primitivi, le cui radici generano il gruppo moltiplicativo $\mathbb{F_{p^n}}^**$, dunque mi chiedo: se $f(x)$ è irriducibile e non primitivo e $\mathbb{F_{p^n}}$ ...
Ciao ragazzi/e! Mi sono imbattuto in questo esercizio che ho risolto per metà, il resto ho provato ma senza successo
Sia $F = K[x]$/$(f)$ dove $K = Z$/$2Z$ e $f = x^3 + x + 1$.
(1) Determinare tutti gli elementi di $F$.
(2) Determinare un generatore del gruppo ciclico $(F\\{0}, ·)$, ovvero un elemento $α ∈ F$ tale che $F\\{0} =< α > = {1, α, α^2<br />
, . . .}$.
(3) Quale degli elementi di $F$ elencati nel punto (1) è ...
La legge di De Morgan $\notX ^^ \notY \vdash \not(XvvY)$ si traduce in un algebra di Heyting come $(x->0)^^(y->0)<=(xvvy)->0$ (in un'algebra di Heyting l'implicazione tra $a$ e $b$ è quell'elemento $a->b$ tale che per ogni $c$ vale $c^^a<=b$ se e solo se $c<=a->b$).
Come posso dimostrare algebricamente che in un'algebra di Heyting tale relazione è vera?
Ciao a tutti, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Dato un campo $K$ arbitrario, dimostrare che ogni estensione di campi $K sub F$ di grado $[F] = p$ con $p$ primo possiede un elemento primitivo.
Per dimostrarlo mi era venuto in mente il Teorema dell'elemento primitivo, il cui corollario dice che
Ogni estensione separabile finita $K sub F$ è semplice o, equivalentemente, ha un elemento ...
Ciao
Cercavo un libro che tratti per bene la teoria dei numei, tipo aritmetica superiore(che è fuori commercio).
Avete qualcosa da consigliarmi?
Ciao a tutti ragazzi, spero sia la sezione giusta per l'argomento. Il problema è davvero banale ma purtroppo non riesco a capire come operare. In pratica devo capire come arrivare da questa funzione:
$W*((P'_c - lP'_c + P_c - lP_c)/(P'_c - P_c - lP'_c + lP_c))$
con l e W costanti
a questa:
$W*((P'_c + P_c)/(P'_c - P_c))$
si tratta di semplificare la prima forma; sicuramente sarà semplice ma proprio non riesco a capire come fare, qualcuno mi aiuta?
Salve a tutti, vi propongo un esercizio sulle permutazioni. Ve lo mostro per avere la possibilità di chiarire alcuni dubbi a riguardo (e non solo).
Siano date le seguenti permutazioni di S(6): σ=(1,2,3), τ=(4,5,6).
(a) Determinare un sottogruppo ciclico H di S(6) in modo che H contenga strettamente .
(b) Determinare un sottogruppo K di S(6) contenente {σ, τ} ed avente ordine 9.
(c) Provare che il sottogruppo K non è ciclico.
Ecco i miei dubbi:
(a) per determinare un gruppo ciclico, dovrei ...
Salve a tutti,
è il mio primo post e spero possiate aiutarmi.
Mi sto preparando per un esame di Crittografia ma purtroppo sono un po arrugginito in teoria dei gruppi e degli anelli e avrei un paio di domande su alcuni esercizi:
1) Costruire un campo con 9 elementi \( \mathbb{F}_{9} \) e trovare una sua radice primitiva g.
2) Descrivere i sottocampi di un campo \( \mathbb{F}_{x} \) ad esempio \( \mathbb{F}_{530} \)
3) Trovare una radice primitiva per \( \mathbb{Z}_{1009} \)
4) Dato il ...
L'esercizio chiede di esprimere $\cos(2\pi/10)$ per radicali. Notiamo che $\zeta_{10}+1/\zeta_{10}=2\cos(2\pi/10)$, inoltre osservo che $QQ(\zeta_{10}$ ha grado 4 su $QQ$ e l'estensione $QQ(\zeta_{10}+1/\zeta_{10}) \sub QQ(\zeta_{10})$ ha necessariamente grado due su $QQ$, quindi dovrei cercare un polinomio di grado 2 che si annulla in $\zeta_{10}+1/\zeta_{10}$. Dovrei usare gli automorfismi di Galois per trovare i coefficienti del polinomio ma al momento non mi viene in mente nulla.
Non riesco a svolgere alcuni esercizi di Algebra 1 sulle classi di congruenza e sulla divisibilità. Qualcuno può spiegarmi come procedere?
1. Siano n e m interi positivi. Provare che f:$[a]_6$ $in$ $Z_25$ -> $[25a]_6$ $in$ $Z_6$ è biettiva;
2. Determinare, spiegando il procedimento, un divisore primo del numero $2^2017$ + 1;
3. Dimostrare che per ogni intero n il numero 4 + $3^(16n+4)$ è divisibile per 17;
4. ...
Siano $r,s \in NN$ tali che $(r,s,)=1$. Dimostrare che $QQ(\zeta_r,\zeta_s)=QQ(\zeta_{rs})$
Non mi viene in mente nulla.
Buongiorno a tutti, mi trovo a dover risolvere questo problema:
"Testo Esercizio":[size=150]Dimostrare che la somma degli elementi della $n$-esima riga del triangolo di Tartaglia è $2^n AA n$[/size]
Io ho seguito questo procedimento (Va dimostrato per Induzione):
La mia affermazione è quindi la seguente $ P(n): sum_(k=0)^(n)( (n), (k) ) = 2^n $
Passo Base)
$ P(0): ( (0), (0) )= 2^0 rArr 1=1 $ Verificato, dato che l'elemento $ c(0,0) $ sarebbe la punta del triangolo.
Ipotesi ...
Ho provato a fare questo esercizio: sia $G$ un gruppo finito che ha tutti i suoi sottogruppi di Sylow ciclici allora devo provare che $G$ è supersolubile, ovvero che $G$ ammette una serie principale che ha tutti i fattori con ordine primo.
Tentativo
Procedo per induzione su $|G|$. Siano $p_1<p_2...<p_n$ i primi distinti che fattorizzano $|G|$ e siano $P_i$ i corrispondenti p-Sylow.
Visto che ...
Salve a tutti. Ho un esame a breve, nessun compagno di corso che possa aiutarmi e non posso sfruttare il ricevimento del docente, quindi spero che possiate aiutarmi voi.
L'esercizio è questo:
1. Data la permutazione
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14) =a
(7 13 12 3 8 2 14 4 10 6 5 11 9 1)
sia G =
Provare che D={ s | o(s) è dispari}
è un gruppo ciclico e determinarne un generatore.
(spero si capisca, non riesco a fare di meglio con le formule)
Ora, vi spiego come ho provato a ...
Può sembrare una domanda banale, ma non ho trovato risposte su Internet e il mio libro non è chiaro. Please!!! Potete anche farmi qualche esempio?
Un enunciato è una formula ben formata nel contesto vuoto?
Allora, una formula ben formata è una lista scritta nell'alfabeto che consiste di variabili $x_0, x_1, ..., x_l, ...$, dei simboli di tipo, relazione, e operazione, di connettivi logici, di quantificatori, dei segni di appartenenza e di uguaglianza, di due parentesi, di un punto e di una ...
Chi può aiutarmi a dimostrare bene il morfismo di valutazione nei polinomi?
Ecco l'enunciato:
Sia B un dominio
con unità 1, e A un sottoanello contenente 1.
Si mostri che esiste un unico morfismo di anelli (detto morfismo di valutazione
in α)
vα : A[x] → B
tale che
vα(c) = c per c ∈ A, e
vα(x) = α.
Grazie
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