Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao
Mi domandavo circa il motivo per cui fosse igienico non considerare in un anello, in generale, l’invertibilità dello zero e mi sono risposto nel seguente modo ‘Se in un anello lo zero è invertibile allora esso è formato da solo un elemento’
La dimostrazione di ciò, è la seguente:
Prendo $(R;+,*)$ anello con unità(uso per sbrigarmi le notazioni additive e moltiplicative)
1) $a*0=0*a=0,forall a inR$
2)[size=90] $existsa inR:a*0=0*a=1 => 1=0*a=0,foralla inR=>1=0$[/size]
Quindi in un anello in cui lo zero sia ...
In $S_5$ il sottogruppo $H=<(1234),(25)(34)>$ quanti elementi ha. C'é una formula? Io ho visto che si calcola il mcm, ma non mi tornano i conti. Grazie
Onde evitare confusioni, enuncio i soprastanti teoremi
Teorema (Hartogs)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Allora esiste un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ o di $T$ in $S$"
Teorema (Bernstein)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Se esistono un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ ed un'applicazione iniettiva di $T$ in ...
Mi è venuta questa perplessità dopo tempo:
dato un insieme $A$ e una relazione binaria $RsubseteqAtimesA$
si usa scrivere che $R$ è simmetrica se
$forallx,y inA, (x,y)inR => (y,x) inR$
questo significa letteralmente che per ogni coppia di $x,y inA$, se $(x,y) inR$ allora $(y,x)inR$.
domanda: significa che tale proprietà agisce solo sulle coppie di elementi che sono in relazione e non su qualsiasi coppia di elementi dell'insieme, giusto?
mi sono posto questa ...
Dato un poligono regolare di quattro lati considero il gruppo diedrale $D_4$ composto dalle permutazioni che di $S_4$ che trasformano in sè il poligono.
Voglio contare tutti gli automorfismi $Aut(D_4)$ e contare tutti gli automorfismi interni $I(D_4)$
Definite con $a$ le rotazioni in senso orario rispetto al centro di simmetria e con $b$ la rotazione rispetto all'asse passante per il centro e per il vertice ...
Stavo dimostrando che se S e T sono insiemi non vuoti e $f:S->T$ è iniettiva allora esiste $g:T->S$ tale che $g•f=\iota_S$ ($\iota_S$ è l'applicazione identica si S)
La soluzione è questa: "sia $x' in S$ allora se $g:T->S$ è così definita
- $g(y)=x'$ se $y in T-f(S)$
- $g(y)=x$ se $y in f(S)$ e $x$ è l'unico elemento di S tale che $f(x)=y$. Sì ha allora ovviamente che $g•f=\iota_S$"
Non ...
Salve, sto avendo un problema con questo esercizio
\(\displaystyle f:x \in \mathbb{Z} \rightarrow (x-1,\; 2) \in \mathbb{Z} \mathrm{x}\mathbb{Z} \)
Il mio dubbio è nel determinare se questa funzione sia suriettiva (\(\displaystyle f: A \rightarrow B \) è suriettiva se \(\displaystyle \forall b \in B \; \exists a\in A : f(a) = b\)) e sorge dal fatto che
\(\displaystyle (x-1,\;3)\in \mathbb{Z} \mathrm{x}\mathbb{Z} \) ma \(\displaystyle \not\exists f(x) = (x-1, 3) \; \forall x \in \mathbb{Z} ...
ho un dubbio che al momento non riesco a colmare.
dati $(G,phi)$ e $(G',varphi)$ gruppi e $f:G->G'$ omomorfismo(pongo $Ker(f)=K$), allora $[K]=| Im(f) |$
NB: denoto con $x'$ l'inverso di $x$
chiaramente $Kx={g inG:phi(g,x') inKer(f)}={g inG: f(phi(g,x'))=e_(G')}$
essendo $f$ omomorfismo si ha $e_(G')=f(phi(g,x'))=varphi(f(g),f(x'))=varphi(f(g),f(x)') => f(g)=f(x)$
pertanto $Kx={g inG:f(x)=f(g)}=f^(leftarrow)({f(x)})$
Quindi il laterale destro del nucleo rispetto a $x$ coincide con la fibra di $f(x)$ da ...
Ciao, non seguo la facoltá di matematica, ma nei corsi a scelta ho la possibilitá di seguire il corso di logica matematica, ne sono interessato sopratutto per l'ultima parte dove si accennerá ai teoremi di inconpletezza di godel, volevo quindi chiedervi di descrivermelo e se è consigliabile a chi non ha seguito studi puri da matematico, (corsi legati a quest'area che ho seguito sono analisi 1-2 e geometria), gli assiomi di questa scienza mi interessano non poco, ma ho timore di buttarmi su un ...
Ho dimostrato il teorema di Lagrange nel modo seguente e vorrei sapere se sia corretto
dato un gruppo $(G,times)$ e un sottogruppo $HleqG$.
$exists n inNN:o(G)=n => o(H)|o(G)$
la dimostrazione mi sembra filare liscio.
poiché $G$ è finito poniamo $G={g_1,...,g_n}$ sia $R$ la congruenza destra modulo $H$ e poniamo $G/R={Hx : x inG}={Hg_1,...,Hg_n}$ essendo $R$ un'equivalenza di $G$ l'insieme $G/R$ è una famiglia che partiziona ...
Al seguire metto pure questa
sia $(G,times)$ un gruppo finito.
Se $o(G)=p$ con $p$ primo allora $G$ è ciclico.
usando il th. di Lagrange si ha che se $HleqG => o(H)|p$ ma allora $o(H)=1$ oppure $o(H)=p$
chiaramente l'unico sotto gruppo di ordine $1$ è il sottogruppo generato dall'elemento neutro.
quindi sia $a inG$ poniamo $H= <a>$ che è certamente un sottogruppo di $G$. Dal teorema ...
Definizione.
Una funzione $ g(n) ∈ O(f(n)) $ se esiste una costante $ c!=0 $ ed un valore $ n_0 > 0 $ per cui $ g(n)≤c f(n) $ per ogni $ n>n_0 $.
Esercizio.
Dimostrare, o confutare la seguente espressione:
se $ f(n) ∈ O(h(n)) $ e $ g(n) ∈ O(h(n)) $ allora $ f(n) ∈ O(g(n)) $
La mia soluzione:
Prendendo per esempio le seguenti funzioni possiamo confutare facilmente l'espressione sopracitata:
$ f(n) = n^5, g(n) = n^4, h(n) = n^6 $
Credo che si possa scrivere meglio così:
$ f(n) = n^5, g(n) = n^4, h(n) = n^5 $
Il ...
Ciao ragazzi, spero di aver azzeccato la sezione giusta, sto seguendo un corso di calcolo combinatorio e matematica discreta quindi mi è sembrata la più adatta!
Sono molto arruginito quindi perdonate eventuali obbrobri, veniamo al dunque:
Dimostrare che, presi comunque $a, b, n in NN$, si ha:
$(a + sqrt(b))^n + (a - sqrt(b))^n in NN$
Ho scritto i due binomi come:
$\sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (sqrt(b))^k + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (-sqrt(b))^k$
Per induzione su $n$:
Per $n=0 \Rightarrow 1 + 1 = 2$, ok!
Lo suppongo vero per $0 ... n$ e ...
Buongiorno, vi chiedo una mano riguardo questo esercizio:
Determinare il polinomio minimo su $mathbb(Q)$ del seguente elemento:
$a=i+sqrt(3)$.
Non avendo le soluzioni chiedo soltanto conferma.
Ho scritto: $a/2=sqrt(3)/2+1/2*i$, da cui $a=2*e^(i*pi/6)$. Ho elevato alla sesta da ambo i lati: $a^6=64*e^(i*pi)$, da cui $a^6+64=0$.
Il mio polinomio minimo su $mathbb(Q)$ dovrebbe essere $P_min(T)=T^6 + 64$. Ovviamente è monico, si annulla in $a$ e dovrebbe ...
Buonasera, sto facendo qualche esercizio sulle parti stabile generate di algebra. Ma non riesco avvenirne a capo, vi riporto l'esercizio.
Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \). Struttura algebrica \(\displaystyle (\mathbb{Z},+) \) determinare le parti stabili generate dal sigleton di \(\displaystyle \{a\} \) e da \(\displaystyle T=(a,b) \).
Soluzione
La parte stabile generata \(\displaystyle Y' \) è definita come :
\(\displaystyle Y'=\bigcap_{Y\in \Sigma}Y \)
quindi dovrei ...
Buongiorno, vi vorrei sottoporre il seguente esercizio:
Dimostrare che $mathbb(Z)//(m*mathbb(Z))$ è un anello locale se e solo se $m$ è una potenza di un primo.
Su $m$ potenza di un primo implica $mathbb(Z)//m*mathbb(Z)$ anello locale non ho problemi. Posto $m=p^k$, faccio vedere che $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ è unione disgiunta di elementi $p*mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ unito agli invertibili di $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$. Così ho che se da $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ tolgo gli invertibili mi rimangono ...
Lep2 symmetric cryptographic code
The key is a pair of numbers (a, b) such that (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 = P where P is a prime number.
encoding
given an odd message n we create a number A = (n ^ 2 + m ^ 2) / 2 greater than P and m>n you cipher in this way (m*b+a*c+a*m-n*b, a*m+n*b-m*b+a*n) = (H, K)
decoding
m*b+a*n+a*m-n*b=H, a*m+n*b-m*b+a*n=K
Advantages:
You can not decipher:
for every message m there are infinite encrypted messages
each key potential generates a different message ...
Salve,oggi,mi sono rimesso un po' a ripetere tutto ciò che avevo studiato in questi ultimi 5 mesi(analisi 1,algebra lineare,geometria 1) e dato che nel libro di algebra lineare c'era un introduzione alla teoria dei gruppi,mi era venuto un dubbio su un esercizio di teoria,la cui generalizzazione corrisponde al primo teorema di Sylow.Allora,ho provato a pensare ad una dimostrazione per questo teorema(usando principalmente i concetti di algebra lineare dato che la teoria dei gruppi la devo ancora ...
Ciao a tutti, studiando algebra lineare trovo queste proposizioni sui campi da dimostrare. Se qualcuno potesse buttarci un occhio e dare un po' di feedback mi farebbe un gran favore, visto che inizio ora con lo studio serio dell'algebra!
Innanzitutto, devo mostrare che l'insieme dei numeri della forma \(\displaystyle a+b\sqrt 2 \) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{Q} \) forma un campo.
Il mio tentativo:
i) Scegliendo \(\displaystyle (a,b)=(0,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 0 \), ...
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