Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Ciao. Mi sto chiedendo quanto il seguente modo per provare le proprietà dei prodotti in gruppi e simili sia valido. Cercherò di spiegarmi con un esempio.
Supponiamo che, dato un semigruppo \( S \), io definisca un prodotto \( p \) di \( n\leqq 2 \) elementi \( x_1,\dots,x_n\in S \) come il risultato \( p=xy \) della legge di composizione del semigruppo su altri due prodotti \( x \) e \( y \) di, rispettivamente, \( 1\leqq k
Voglio concentrarmi un'attimo sulle categorie opposte. Presa una categoria \(\mathcal C\), la categoria duale \(\mathcal C^\text{op}\) consiste degli stessi oggetti di \(\mathcal C\) (e fini qui niente di male) e per ogni oggetto $X,Y$ di \(\mathcal C\) si ha \(\hom^\text{op}(X,Y)=\hom(Y,X)\), e quindi delle stesse collezioni di morfismi di \(\mathcal C\). Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa. Le cose invece cambiano con ...
Buona (caldissima) giornata a tutti!
Il dubbio riguarda l'esercizio 1.2.27 qui insieme alla definizione 1.2.16 e al warning 1.12.17.
Sono portato a pensare che richiedere che \begin{equation}\text{per ogni morfismo $f_1$ e $f_2$ in \(\mathcal A\)} \colon f_1 \ne f_2 \Rightarrow F(f_1) \ne F(f_2)\end{equation} sia in realtà troppo restrittivo per la definizione di fedele. Cioè si vuole anche poter avere anche un caso come questo: prendo in \(\mathcal A\) ...
Esercizio che sarà pur molto semplice, ma a me serve per familiarizzare col linguaggio.
L'esercizio in questione è qui a pagina 26 esercizio 1.2.23.a. Ecco il gruppo \(G\) visto come una categoria ad un solo oggetto
[tex]\xymatrix{
\bullet \ar@(l,ul)[]^y \ar@(d,dl)[] \ar@(r,dr)[]^x \ar@(u,ur)[]
}[/tex]Essendo i morfismi di \(G\) isomorfismi allora pure i morfismi di \(G^\text{op}\) sono isomorfismi. In particolare \(f^\text{op}\) è l'inversa di \(f\), e quindi \(ff^\text{op}=1\) e \(f^\text{op}f=1\), dove con ...
Salve, devo prepararmi per un esame di accesso al dottorato, sono un laureato vecchio ordinamento e per la prova di esame sono previsti diversi temi tra cui algebra. Ho scelto di ripassare l'algebra ma non so di preciso qual è il programma svolto durante i corsi di laurea di I e II livello. Gradirei anche trovare su internet delle dispense corredati da dimostrazioni ed esempi, non riesco a trovare più i miei appunti, ed inoltre ho notato che alcuni link messi a disposizione su questo forum per ...
Teorema: Sia A un insieme. Non esiste alcuna applicazione suriettiva tra $A$ e $P(A)$.
Dimostrazione: Sia $ f: A \mapsto P(A)$ una applicazione suriettiva e consideriamo l'insieme $E = {x \in A: x \notin f(x)}$. Poiché $f$ è suriettiva, esisterà un $e \in A$ tale che $E = f(e)$. Ci chiediamo ora: $e$ appartiene ad $E$ oppure no?
Sfruttando il paradosso di Russell l'autore conclude la dimostrazione. Non ho capito perché definisce ...
Salve, spero possiate aiutarmi con il seguente esercizio:
Determinare i divisori dello zero, gli elementi invertibili ed esplicitare l'inverso degli elementi invertibili nell'anello \(\displaystyle ( \mathbb{Z}_{26},+,\cdot ) \)
Ho trovato i divisori dello zero con \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), che sono:
\(\displaystyle \left \{ [2],[4],[6],[8],[10],[12],[13],[14],[16],[18],[20],[22],[24] \right \} \)
Ho trovato poi gli elementi ...
Salve a tutti. In alcuni testi nella trattazione della logica proposizionale vengono annoverati fra i simboli dell'alfabeto anche il vero "V" ed il falso "F". Essi vengono detti costanti logiche, insieme agli operatori et, vel ecc. Il senso è che le proposizioni atomiche "p","q"..ecc. sono variabili, mentre "V" e "F" sono i valori logici che possono assumere le variabili logiche. In questo modo non è un concetto sovrabbondante, visto che i valori logici vengono considerati in semantica (usando ...
L'equazione diofantea esponenziale passata in effetti fornisce anche dei numeri che non sono primi,essendo appunto l'applicazione del piccolo teorema di Fermat. Applicando invece il teorema di Wilson si arriva all'equazione diofantea (12k)!-12k=n*(12k+1) (se avete idee per la soluzione!!)
N.B. il tutto è nato dallo scrivere attorno ad una circonferenza i numeri da 1 a 12 come nel quadrante di un orologio ed andando avanti con la numerazione. Se vi fate un disegno vi accorgete che tutti i ...
Ciao,
ho il seguente esercizio.
Sia $(A, +, *)$ Anello Commutativo Unitario, sia $a \in A$ e sia il seguente sottoanello di $A$,
$Id = \{ ax - x, x \in A\}$
1) Dimostrare che $Id$ ideale di $A$
2) Dimostrare $a-1$ è invertibile se e solo se $Id = A$
Per il punto 1) penso di fare così:
Basta provare che $Id$ non vuoto, chiuso per la sottrazione e vale la proprietà "assorbente".
Sia $1 \in A$, in quanto ...
Ciao,
ho il seguente esercizio.
Determinare il polinomio minimo di $a := \sqrt(5) + root(3)(2)$ su $Q(root(3)(2))$.
Svolgimento.
Il polinomio minimo di $a$ su $Q(root(3)(2))$ è $f(x) = x^2 - 2root(3)(2)x + root(3)(4) - 5$.
Infatti $f$ monico e si annulla in a per costruzione.
Non potendo controllare l'irriducibilità in un'estensione di $Q$, si osserva che, per la regola della catena sono valide le seguenti scritture:
$[Q(a) : Q] = [Q(a) : Q(root(3)(2))] * [Q(root(3)(2)) : Q]$ $*$
e allo stesso ...
Ragazzi se per ipotesi restringessi il codominio di una funzione ad f(D), otterrei sempre una funzione suriettiva?
Ciao,
potreste invece dirmi se questo esercizio l'ho fatto bene?
Esercizio
Calcolare il grado su $Q$ di $Q(i, 5^(1/4))$. ** Scusate sono impazzito, ma non sono riuscito a scrivere su Latex radice quarta di 5.
mio svolgimento
Sarebbe da calcolare $[Q(i, 5^(1/4)) : Q]$. Per la regola della catena posso scrivere
$[Q(i, 5^(1/4)) : Q]$ = $[Q(5^(1/4))(i) : Q(5^(1/4))] * [Q(5^(1/4)) : Q]$
Poiché si può dimostrare che $x^4 - 5$ è polinomio minimo di radice quarta di 5 su $Q$, l'ultimo termine è ...
Ciao,
quasi mi vergogno a scriverlo, ma ho un problema su questo esercizio.
Allora
Esercizio
Sia $(A,+,*)$ l'Anello di $Z x Z$ e sia $S \subseteq A$ così definito:
$S = {(x,y) \in A , 3|x-y}$
1) Provare $S$ sotto Anello di $A$
2) Provare $S$ non è ideale di $A$
mie idee..
Parte prima.
Per una caratterizzazione posso affermare che $(S, +, *)$ è sotto Anello di $(A, +, *)$ se $(S,+)$ sotto gruppo di ...
Ciao a tutti, sto facendo un po' di esercizi sul principio di induzione di prima forma ma mi blocco in tutti. Esistono dei "trucchetti" per riuscire a semplificare i conti per arrivare a $P(n+1)$?
Per intenderci, ho che $$1-\frac{1}{(2n+1)!}+\frac{4(n+1)^2+2(n+1)-1}{(2(n+1)+1)!}=1-\frac{1}{(2(n+1)+1)!}$$
Questo è solo un esempio per dire che le ho provate (quasi) tutte ma non riesco a trovare una soluzione.
Quindi la mia domanda è se ci sono dei sistemi ...
Salve a tutti mi rivolgo al forum per la prima volta in assoluto , oggi mi sono cimentato nello studio dei numeri complessi e sono incappato in un esercizio di fattorizzazione in C[x] del seguente polinomio: $ x^5+5x^2 $ che ho inizialmente scomposto come $ x^2(x^3+5) $ all'interno delle parentesi essendo un polinomio di terzo grado mi aspetto 3 radici, di cui una reale e 2 complesse che sono rispettivamente: $ (-5)^(1/3),+-i(-5)^(1/3) $ , ora la mia domanda è il polinomio si fattorizza in ...
Sia W= p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)
1) Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W è un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base;
2) Si determinino, se possibile, 3 vettori lin. indipendenti che NON appartengono a W.
Buonasera, mi stavo imbattendo su questa tipologia di esercizi. Ho un dubbio in questo caso:
da quel che so affinchè uno spazio vettoriale sia sottospazio deve possedere le tre condizioni: vettore nullo app. a W, W ...
Ciao. Non mi è molto chiaro come dovrei interpretare la proposizione che segue (proposizione 2.2 del capitolo I sulla teoria dei gruppi di Algebra di Lang.
Let \( G \) be a group and \( H \) be a subgroup. Then \[ \tag{1}(G:H)(H:1)=(G:1) \] in the sense that if two of these two indices are finite, so is the third and equality holds as stated. [...]
More generally, let \( H \), \( K \) be subgroups of \( G \) and let \( H\supset K \). Let \( \left\{x_i\right\} \) be a set of (left) ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo