Fattori irriducibili per polinomi in Z[X]
Ciao a tutti,
non riesco a completare un esercizio sui polinomi.
"Sia $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k*x^k in \mathbb Z[X]$ un polinomio. Se esiste un numero primo p ed un numero intero m, con $1<=m<=n$, tali che: $p|a_0, a_1,...,a_{m-1}$, p non divisore di $a_m$ e $p^2$ non divisore di $a_0$.
Si mostri che P ha un fattore irriducibile di grado $d>=m$."
Mia soluzione:
Caso $m=n$:
Considero il teorema di Eisenstein. Dobbiamo in aggiunta solo dimostrare che un polinomio $f in P(x)$ è primitivo.
Un polinomio $f in P(x)$ è primitivo se il massimo comun divisore degli $a_i$ è 1, e $a_n>0$.
Poichè per ipotesi ($m=n$ ora) $p|a_0, a_1,...,a_{n-1}$, ma p non è divisore di $a_n=a_m$, si ha che il massimo comun divisore degli $a_i$ è 1. Quindi f è primitiva e f irriducibile.
Poichè In tal caso abbiamo l'irriducibilità di f stesso, in tal caso il fattore irriducibile è f stesso, di grado $n=d>=m$.
Caso $m
Sto provando a impostare il problema in modo simile alla dimostrazione del teorema di Eisenstein, ma finora non ce l'ho fatta.
Considero $f in P(x)$ ed una sua fattorizzazione (essendo in questo caso f riducibile) $f=g*h$, con gradi di g e h $d=deg(g)<=n$ e $k=deg(h)>=1$. Vorrei così dimostrare che si deve avere per forza g irriducibile, con grado $d>=m$.
È da più di tre ore che siedo davanti ai libri ma non mi sono mosso da questo punto. Qualcuno sa consigliarmi come andare avanti?
non riesco a completare un esercizio sui polinomi.
"Sia $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k*x^k in \mathbb Z[X]$ un polinomio. Se esiste un numero primo p ed un numero intero m, con $1<=m<=n$, tali che: $p|a_0, a_1,...,a_{m-1}$, p non divisore di $a_m$ e $p^2$ non divisore di $a_0$.
Si mostri che P ha un fattore irriducibile di grado $d>=m$."
Mia soluzione:
Caso $m=n$:
Considero il teorema di Eisenstein. Dobbiamo in aggiunta solo dimostrare che un polinomio $f in P(x)$ è primitivo.
Un polinomio $f in P(x)$ è primitivo se il massimo comun divisore degli $a_i$ è 1, e $a_n>0$.
Poichè per ipotesi ($m=n$ ora) $p|a_0, a_1,...,a_{n-1}$, ma p non è divisore di $a_n=a_m$, si ha che il massimo comun divisore degli $a_i$ è 1. Quindi f è primitiva e f irriducibile.
Poichè In tal caso abbiamo l'irriducibilità di f stesso, in tal caso il fattore irriducibile è f stesso, di grado $n=d>=m$.
Caso $m
Sto provando a impostare il problema in modo simile alla dimostrazione del teorema di Eisenstein, ma finora non ce l'ho fatta.
Considero $f in P(x)$ ed una sua fattorizzazione (essendo in questo caso f riducibile) $f=g*h$, con gradi di g e h $d=deg(g)<=n$ e $k=deg(h)>=1$. Vorrei così dimostrare che si deve avere per forza g irriducibile, con grado $d>=m$.
È da più di tre ore che siedo davanti ai libri ma non mi sono mosso da questo punto. Qualcuno sa consigliarmi come andare avanti?
Risposte
Il polinomio $P$ ammette un divisore irriducibile $f=\sum_{i=0}^db_ix^i\in ZZ[x]$
con $b_0$ divisibile per $p$ ma non per $p^2$. Il quoziente $P//f$ e’ quindi
un polinomio con termine noto non divisibile per $p$.
Si dimostra facilmente (per induzione) che i coefficienti $b_i$ sono divisibili
per $p$ per $i
con $b_0$ divisibile per $p$ ma non per $p^2$. Il quoziente $P//f$ e’ quindi
un polinomio con termine noto non divisibile per $p$.
Si dimostra facilmente (per induzione) che i coefficienti $b_i$ sono divisibili
per $p$ per $i
Grazie mille!
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