Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Problema dell'herstein,se $o(G)=pq$, $p$,$q$, primi distinti con $p<q$, dimostrare che: (a) Se $p$ non divide $q-1$, allora $G$ è ciclico. (b) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$. Il quesito (a) si risolve facilmente infatti per il teorema di Sylow il numero dei $p-$sottogruppi distinti deve essere ...

Salve a tutti, devo sostenere l'esame orale di matematica discreta e mi sorge un dubbio. Praticamente Se G è un gruppo ed H è un sottoinsieme di G è vero che posso affermare che non è detto che sia H è un sottogruppo di G? Io ragiono in questa maniera ditemi se sbaglio. Un sottogruppo per essere tale deve essere un sottogruppoide che in più possiede l'elemento neutro del gruppo di cui è sottogruppo ed inoltre ogni suo elemento simmetrico deve appartenere al suo insieme sostegno. Dunque ...

Ciao ragazzi, ho da poco fatto l'esame di Algebra 1,e ho ancora l'amaro in bocca per una dimostrazione. Mi chiedevo se esiste una dimostrazione più bella,magari anche più sofisticata del piccolo teorema di Fermat,e in caso affermativo,gentilmente potreste dirmela? Grazie!

Ciao a tutti, Ho molti problemi a risolvere dele dimostrazioni per induzione con esponente. Ecco un esempio. Dimostrare che per ogni $n>= 2$ si ha $ 2^(n+1) < 3^n$. Tralasciando il caso base. - $2^(n+1) < 3^n$ - $2^(n+2) < 3^(n+1)$ - $2^n * 4 < 3^n * 3$ Ora non so come proseguire. Dimostrare che per ogni $n >= 2$ si ha $2^n + 3^n < 4^n$. Tralasciando il caso base. - $2^(n+1) + 3^(n + 1) < 4^(n+1)$ - $2^n * 2 + 3^n * 3 < 2^2n *2^2$ - $(2^n - 2^(2n)) * 6 + 3^n * 3 < 0$ Ho molti dubbi sul fatto che ...

ciao a tutti! per l'esame di algebra devo portare degli esercizi all'orale, e tra gli altri il prof mi ha assegnato questo, stando a quello che mi ha detto molto semplice: Dimostrare che due campi di 3 elementi sono isomorfi. Un isomorfismo di campi e' una applicazione iniettiva e suriettiva f che rispetta le due operazioni, cioe' f(a+b)=f(a)+f(b) e f(a*b)=f(a)*f(b), dove * indica la moltiplicazione. a lezione non abbiamo mai trattato i campi isomorfi, e cercando ...

Ragazzi c'è un dubbio che , per quanto banale possa sembrare ( credo che in fin dei conti lo sia proprio ) , mi assilla . Nel momento in cui si parla di inversione del teorema di Lagrange nell'ambito dei p-gruppi , si fa riferimento ad un'inversione debole o ad un'inversione forte dello stesso ? Beh considerando che nei ciclici si inverte in maniera forte e in quelli abeliani in modo debole , io sarei propenso a credere che sia debole , sennò è come se dicessimo che tutti i p-gruppo siano , in ...

Ragazzi c'è un quesito che vorrei girarvi : sul mio testo di algebra vien detto che nel caso di insieme di ordine infinito , l'esistenza dei p-sottogruppi di Sylow è garantita del Lemma di Zorn ( equivalente dell'Assioma della scelta ) . Ora , il Lemma di Zorn sostiene che in un insieme induttivo c'è un qualche elemento massimale ; pertanto sarei portato , naturalmente , a concludere che quello dei p-sottogruppi del G di partenza sia induttivo , ma non riesco a capirne la motivazione ...

Salve a tutti, ho un dubbio su una definizione. Sia G un monoide con elemento neutro u, la cui operazione è denotata additivamente. L'e-simo multiplo di a, dove $ a in G $, è un elemento di G definito come segue 0a = u (n+1) a = na + a per ogni $ a in N $ Ma se stiamo parlando di addizione perchè questo elemento è definito come moltiplicazione di 0a = u, cioè 0a non sta a significare zero per a????

Ragazzi una (forse semplice) curiosità: perchè $ sqrt( (-1)cdot(-1) ) != sqrt(-1)cdot sqrt(-1) $ ??? (Io ho pensato che $sqrt(-1) in CC$, dove (magari) non valgono le stesse proprietà algebriche che i radicali possiedono in $RR$...)

Non capito come fare il seguente esercizio, so che bisogna applicare il teorema cinese del resto, ma non riesco a trovare una spiegazione che mi soddisfi.... Mi date una mano, con la spiegazione del teorema, poi provo a risolverlo io l'esercizio, che è: Risolvere in Z: $\{(xequiv1 mod 4),(xequiv-3 mod 7),(xequiv3 mod 5):} $ **edit avanzamento, Prima di tutto mi riscrivo il sistema come: $\{(xequiv1 mod 4),(xequiv4 mod 7),(xequiv3 mod 5):} $ Ora devo trovolare la soluzione di $ (xequiv1 mod 4) $ tramite teorema cinese del resto, giusto? e qui iniziano i ...

Provare che il gruppo G ha almeno un sottogruppo normale non banale l'ordine di G è 495=3^2 x 5 X 11 n5=numero dei 5-sottogruppi di Sylow n5 può essere 1 o 5 n11=numero degli 11-sottogruppi di Sylow n11 può essere 1 o 45 se n5=5 ho 11x4 elementi di ordine 5 tot 44 se n11=45 ho 45x10 elementi di ordine 11 tot 450 450+44+identità=495 quindi non ho 3-sottogruppi di Sylow. Questo vuol dire che n5 o n11 devono essere 1?

Ciao, mi potreste dare una mano con questo esercizio, scrivendomi una soluzione esaudiente con spiegazioni alla risoluzione. Sia S6 il gruppo delle permutazioni di 6 elementi e sia: f = (1 3) ° (1 2 4) a) Quanti elementi ha S6? b) Si scriva f come prodotto di cicli disgiunti e come prodotto di trasposizioni. c) Si calcolino f^2 = f°f, f^3 = f^2°f, f^4 = f^3°f d) Si scriva la defenizione di gruppo e di sottogruppo e) Si dimostri ...

Ciao a tutti, sto avendo un problema nella risoluzione di un esercizio che sembra semplice, la traccia dice Si consideri la relazione così definita: $AA a,b in ZZ:aRb harr 5|(a+4b)$ Stabilire se $R$ è una relazione di equivalenza. per essere di equivalenza devo dimostrare che è RIFLESSIVA: $aRa AA a in ZZ$ segue che $5|(a+4a)$ ed è facile vedere che $5|5a$ quindi la relazione è riflessiva SIMMETRICA: $aRb AA a,b in ZZ$ allora anche $bRa$ quindi se ...

salve a tutti c'è questo esercizio che mi è ambiguo perche' è stato risolto dalla prof in questo modo: i sotto gruppi di $A_4$ sono $id$,$A_4$,$V={id,(12)(34),(14)(32),(13)(24) }$ (il s.g. di Klayn) e fino a qui ci sono,sia che sono sottogruppi sia che sono contenuti in $A_4$,poi però aggiunge questi: $<(12)>$ , $<(13) >$,..... ovvero tutti quelli generati dalle singole trasposizioni,ma le trasposizioni prese singolarmente non hanno classe ...

Ho già postato qualche giorno fa una discussione su come capire quali sono gli ideali di un insieme. Però ho ancora molte difficolta negli esercizi per determinarli, l'esercizio che non riesco a svolgere è questo: determinare gli ideali dell'anello $ZZ_4 xx ZZ_6$. Io ho provato a ragionare così: visto che non è un dominio di integrità non può essere neanche un campo, quindi non posso sperare che gli ideali siano solo quello nullo e l'anello stesso, ho provato quindi a costruirmi un ...

Trovare il campo di spezzamento E di (x^3+x^2+2)(x^3+x+ 2) su Z5 e determinare [E : Z5]. Ho pensato di usare l'automorfismo di Frobenious, ma mi chiedo: devo ampliare con le radici di entrambi i polinomi o mi basta la radice di uno dei due?

avrei dei dubbi su questo esercizio: sia $gamma=(i_1...i_k)$ un $k$-ciclo in $Sigma_n$ e sia $gamma$ una qualsiasi permutazione in $Sigma _n$.Dimostrare che $gammasigmagamma^-1=(gamma(i_1)...gamma(i_k))$ dunque io so che il $k$-ciclo ha questa forma $i_1->i_2$ $i_2->i_3$ . . . $i_(k-1)->i_k$ $i_k->i_1$ se lo compongo con $gamma$ avrò $i_1->i_2->gamma(i_2)$ $i_2->i_3->gamma(i_3)$ . . ...

buonasera! mi è capitato questo esercizio in cui mi si chiede dato $C_n={e^(((2pii)/n)k)|0<=k<=n-1}$ l'insieme delle radici n-esime dell'unità,dimostrare che $(C_n,*)$ è un gruppo. Io fin'ora sono sempre stata abituata a ragionare con gruppi indicati del tipo $C_8,C_9$ ecc. non sono sicura del mio ragionamento e della scrittura che ho usato per svolgere l'esercizio. prima di tutto $C_n$ non sarebbe un sottogruppo di $CC \\{0}$? il testo chiedendomi di verificare che si ...

salve ragazzi, tra i vari esercizi ho trovato questo Ho pensato un numero compreso tra 1 e 100 che diviso per 3 da resto 2, diviso per 4 da resto 1 e diviso per 5 da resto 3. Che numero è? per risolverlo, secondo voi, va bene se provo a impostare un sistema di congruenze del tipo ${ ( x -= 3 mod 2),( x -= 4 mod 1 ),( x -= 5 mod 3 ):}$ la soluzione del sistema dovrebbe darmi un numero tra 1 e 100 oppure devo restringere il campo delle soluzioni a quell'intervallo che ne dite?

Ho un esercizio che questi giorni proprio non mi va giù: per ogni $ n \geq 4 $ dimostrare che vale $ 3^n > n^3 $ io ho svolto il caso base e sono arrivato al passo per l'induzione: $ 3^(n+1) > (n+1)^3 $ dopo come devo fare? Ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne.. Grazie a chiunque voglia aiutarmi.