Sottogruppo normale di un gruppo G
Provare che il gruppo G ha almeno un sottogruppo normale non banale
l'ordine di G è 495=3^2 x 5 X 11
n5=numero dei 5-sottogruppi di Sylow
n5 può essere 1 o 5
n11=numero degli 11-sottogruppi di Sylow
n11 può essere 1 o 45
se n5=5 ho 11x4 elementi di ordine 5 tot 44
se n11=45 ho 45x10 elementi di ordine 11 tot 450
450+44+identità=495
quindi non ho 3-sottogruppi di Sylow. Questo vuol dire che n5 o n11 devono essere 1?
l'ordine di G è 495=3^2 x 5 X 11
n5=numero dei 5-sottogruppi di Sylow
n5 può essere 1 o 5
n11=numero degli 11-sottogruppi di Sylow
n11 può essere 1 o 45
se n5=5 ho 11x4 elementi di ordine 5 tot 44
se n11=45 ho 45x10 elementi di ordine 11 tot 450
450+44+identità=495
quindi non ho 3-sottogruppi di Sylow. Questo vuol dire che n5 o n11 devono essere 1?
Risposte
Intendi dire [tex]n_5=11[/tex], naturalmente (non [tex]5[/tex]). E' giusto.
[mod="Martino"]Per il futuro per favore usa le formule (clic), non è difficile. Grazie.[/mod]
[mod="Martino"]Per il futuro per favore usa le formule (clic), non è difficile. Grazie.[/mod]
si,ho sbagliato a scrivere
n3 può essere 1,33 o 55
se n5=1 gli elementi di ordine 3 dovrebbero essere 40
se n11=1 sarebbero 440
quindi ho spazio per quattro 3-Sylow
e quindi ho risolto l'esercizio?
se n5=1 gli elementi di ordine 3 dovrebbero essere 40
se n11=1 sarebbero 440
quindi ho spazio per quattro 3-Sylow
e quindi ho risolto l'esercizio?
L'avevi gia' risolto nel tuo primo intervento, in cui hai dimostrato che almeno uno tra [tex]n_5[/tex] e [tex]n_{11}[/tex] dev'essere 1.
se l'ordine è 351 non esiste il sottogruppo normale?
e per un gruppo che ha ordine $ p^(2) $ (p+3)?
np divide $ p^(2) $ (p+3) e $ np -= 1 $ mod p
se np=1 ho un solo p-sottogruppo che è normale in G
se np=p $ p -= 1 $ mod p allora p divide p-1 assurdo
se np=2 p divide $ p^(2) $ -1 assurdo
se np divide p+3 allora p divide p+2 assurdo
questo per i p-sottogruppo e per i p+3?
se np=1 ho un solo p-sottogruppo che è normale in G
se np=p $ p -= 1 $ mod p allora p divide p-1 assurdo
se np=2 p divide $ p^(2) $ -1 assurdo
se np divide p+3 allora p divide p+2 assurdo
questo per i p-sottogruppo e per i p+3?
p è numero primo
Devi giustificare meglio il fatto che [tex]n_p[/tex] non divide [tex]p+3[/tex] se [tex]n_p \neq 1[/tex]. E poi devi trattare anche il caso [tex]p=3[/tex].
io so che np=1+hp con h intero
allora p|np-1
quindi p+3 è multiplo di np-1
ma da qui non so come procedere
allora p|np-1
quindi p+3 è multiplo di np-1
ma da qui non so come procedere
No, tu sai che [tex]p[/tex] divide [tex]n_p-1[/tex] e che [tex]n_p[/tex] divide [tex]p+3[/tex]. Da qui devi dedurre che [tex]n_p=1[/tex]. Naturalmente sei nel caso [tex]p \neq 3[/tex], il caso [tex]p=3[/tex] lo dovrai discutere a parte.
ottengo un assurdo perchè p dovrebbe dividere 2?
Non capisco cosa vuoi dire.
np|p+3 allora p+3=nph con h intero
p|np-1 allora np-1=kp con k intero
devo combinare le due cose ?
p|np-1 allora np-1=kp con k intero
devo combinare le due cose ?
Sì.
p+3=h+khp allora p divide -3?
No. Comunque dovresti argomentare un po'...
Per favore usa le formule, non e' difficile: metti un \$ prima della formula e un \$ dopo. Per esempio scrivi: \$p+3=h+khp\$. Grazie.
Per favore usa le formule, non e' difficile: metti un \$ prima della formula e un \$ dopo. Per esempio scrivi: \$p+3=h+khp\$. Grazie.
non riesco a capirlo.grazie comunque per l'aiuto
[tex]p+3=h+khp[/tex], con [tex]h \geq 0[/tex] e [tex]k \geq 0[/tex], da cui (*) [tex](1-kh)p=h-3[/tex]. In particolare se [tex]n_p \neq 1[/tex] allora dev'essere [tex]h \leq 2[/tex] (altrimenti [tex]h - 3 \geq 0[/tex] e quindi da (*) segue [tex]1-kh \geq 0[/tex], da cui [tex]k=0[/tex], cioe' [tex]n_p=1[/tex]). Quindi [tex]n_p=p+3[/tex] oppure [tex]2n_p=p+3[/tex], e riducendo modulo [tex]p[/tex] ottieni [tex]p=2[/tex], che e' un caso che si fa a mano. Anche il caso [tex]p=3[/tex] si fa a mano.
Ciao.
Ciao.
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