1=-1 ?
Ragazzi una (forse semplice) curiosità: perchè
$ sqrt( (-1)cdot(-1) ) != sqrt(-1)cdot sqrt(-1) $ ???
(Io ho pensato che $sqrt(-1) in CC$, dove (magari) non valgono le stesse proprietà algebriche che i radicali possiedono in $RR$...)
$ sqrt( (-1)cdot(-1) ) != sqrt(-1)cdot sqrt(-1) $ ???
(Io ho pensato che $sqrt(-1) in CC$, dove (magari) non valgono le stesse proprietà algebriche che i radicali possiedono in $RR$...)
Risposte
Attento, non devi fare confusione. Il simbolo di radice quadrata e' riservato soltanto a numeri reali non negativi. Sarebbe anche sbagliato scrivere [tex]\sqrt{-1}=i[/tex] perche' $i$ non e' definito cosi', bensi' come soluzione dell'equazione quadratica [tex]x^2+1=0[/tex].
Per essere piu' precisi dovresti considerare il campo [tex]\mathbb{R}_{/(x^2+1)}\cong\mathbb{C}[/tex] che e' il campo reale al quale e' stata aggiunta l'elemento [tex]i[/tex].
Per essere piu' precisi dovresti considerare il campo [tex]\mathbb{R}_{/(x^2+1)}\cong\mathbb{C}[/tex] che e' il campo reale al quale e' stata aggiunta l'elemento [tex]i[/tex].
Ti ringrazio...secondo Wolfram però $ sqrt(-1) =i $...ho controllato perkè avevo dei dubbi sulla definizione dell'unità immaginaria...in ogni caso quello che hai detto già dimostra che 1 è diverso da -1 
e questo mi basta!
e questo mi basta!
[Orang-utang©]
Noto che [tex]$\imath \cdot \imath =-1$[/tex], quindi (interpretando [tex]$\imath$[/tex] come la prima determinazione complessa della radice di [tex]$-1$[/tex]) il prodotto delle due radici complesse [tex]$\sqrt{-1}$[/tex] fornisce la seconda determinazione complessa della radice di [tex]$(-1)\cdot (-1)=1$[/tex]...
[/Orang-utang©]
La morale è: con la polidromia non si scherza.
Noto che [tex]$\imath \cdot \imath =-1$[/tex], quindi (interpretando [tex]$\imath$[/tex] come la prima determinazione complessa della radice di [tex]$-1$[/tex]) il prodotto delle due radici complesse [tex]$\sqrt{-1}$[/tex] fornisce la seconda determinazione complessa della radice di [tex]$(-1)\cdot (-1)=1$[/tex]...
[/Orang-utang©]
La morale è: con la polidromia non si scherza.
Ragazzi, abbiate pazienza ma io non ho capito! Qual'è l'errore?
Accidenti, sono convinto che si era già parlato di questa cosa nel forum, ma non riesco a trovarla.
Il problema è molto semplice: non esiste nessuna funzione [tex]f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] tale che:
- [tex]f(x)^2=x[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb{C}[/tex];
- [tex]f(xy)=f(x)f(y)[/tex] per ogni [tex]x,y \in \mathbb{C}[/tex].
Infatti se esistesse allora [tex]f(1)=f((-1) \cdot (-1))= f(-1) \cdot f(-1) = f(-1)^2 = -1[/tex] e quindi [tex]-1 = f(1) = f(1 \cdot 1) = f(1) \cdot f(1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex], assurdo.
Il problema è molto semplice: non esiste nessuna funzione [tex]f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] tale che:
- [tex]f(x)^2=x[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb{C}[/tex];
- [tex]f(xy)=f(x)f(y)[/tex] per ogni [tex]x,y \in \mathbb{C}[/tex].
Infatti se esistesse allora [tex]f(1)=f((-1) \cdot (-1))= f(-1) \cdot f(-1) = f(-1)^2 = -1[/tex] e quindi [tex]-1 = f(1) = f(1 \cdot 1) = f(1) \cdot f(1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex], assurdo.
"gugo82":Me ne sono accorto qualche giorno fa, comunque...
...La morale è: con la polidromia non si scherza.
Secondo me l'errore è ìnsito nell'ignorare la polidromìa!
"Martino":Forse questa discussione mia con antani?! Utilizzandola a dovere si trova l'errore... credo!
Accidenti, sono convinto che si era già parlato di questa cosa nel forum, ma non riesco a trovarla...
Grazie Martino, le tue risposte sono sempre chiarissime!
Prego
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