Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve ragazzi/e, fra poco devo affrontare l'esame di matematica e ho ancora troppi dubbi.. Sapreste spiegarmi:
1) Cosa sono le classi resto di un insieme, magari con qualche esempio
2) Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio:
Per $ K=R $ e $ K=Z_11 $ scomporre $ x^4 -3 $ nel prodotto di polinomi irriducibili.
Per quanto riguarda $ R $ ho trovato $(x -sqrt(3))(x +sqrt(3))(x^2 +sqrt(3))$ ma per $Z_11$ non so come muovermi..
mi sono imbattuto nella risoluzione di questo sistema.. che sembra semplice ma non riesco a risolvere
$\{(a+c=0),(d+ac+b=0),(ad+bc=0),(bd=-10):}$
siamo nel campo $Z_11$ quindi riscrivo l'ultima condizione come
$\{(a+c=0),(d+ac+b=0),(ad+bc=0),(bd=1):}$
nella prima trovo che $c=-a$ , raccolgo la terza condizione e ottengo $a(d-b)=0$
$\{(a+c=0),(d+ac+b=0),(a(d-b)=0),(bd=1):}$
pongo $d-b=0$ e trovo che $d=b$ quindi dall'ultima condizione ricavo $b=-1$
ORA la mia prof trova come valori ...
Cambiamo zona: passiamo al gruppo simmetrico.
Data la permutazione [tex]\sigma=(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6\ 7)(8\ 9\ 10)\in S_{15}[/tex]
a) Calcolare l'ordine del centralizzante di [tex]\sigma[/tex];
b) Data [tex]\tau=(8\ 11\ 12\ 13)(4\ 7\ 9)(1\ 2\ 10)[/tex] trovare [tex]\gamma[/tex] tale che [tex]\gamma\sigma\gamma^{-1}=\tau[/tex].
c) Dato il sottogruppo di [tex]S_{15}[/tex] [tex]G=[/tex], dimostrare che [tex]A_{15}
Rieccomi!
Una domandina che probabilmente è banale, perchè probabilmente mi sto affogando in un bicchiere d'acqua.
Dato il polinomio [tex](x^2-6)(x^3-5)\in \mathbb Q[x][/tex], quant'è il grado dell'estensione [tex][\mathbb K:\mathbb Q][/tex], dove [tex]\mathbb K[/tex] è il suo campo di spezzamento?
Le radici del polinomio sono [tex]\pm\sqrt{6}[/tex] e [tex]\sqrt[3]{5}\zeta^k[/tex], [tex]k=0,1,2[/tex], dove [tex]\zeta[/tex] è la radice terza dell'unità. La cosa che non mi torna è questa: ...
Rieccomi alle prese con la matematica discreta
La traccia dice: Dimostrare che la seguente Relazione è di equivalenza
R = {(x,y) $in$ $ZZ$ x $ZZ$ | 5/3x + 7y }
La relazione è riflessiva.
Nel provare che è simmetrica faccio cosi:
5/3x + 7y $=>$ $EE$ h $in$ $ZZ$ t.c. 3x + 7y = 5h
3x + 7y = 5h
4x + 3x + 7y = 5h + 4x
7x + 7y - 4y = 5h + 4(x-y)
7x + 3y = 5h + 4(x-y)
La parte in ...
Salve ragazzi, durante la mia disperata preparazione per l'esame di discreta, mi sono inbattutto in un altro ostacolo.
Sia X = $NN$$^2 $
(a,b) R (c,d) ab = cd
devo dimostrare che è di equivalenza
a) riflessivita
$AA$ a € X ab R ab
ab = ab
Giusto??
b) Simmetria
$AA$ a € X ab R ba
Qui mi sono bloccato. Devo considerare la coppia (a,b) o ab??
E (c,d) non li considero proprio??
Esercizio: Sia [tex]$H = \{ f \in S_8 : f(4) = 4 \}$[/tex] dove [tex]$S_8$[/tex] è il gruppo simmetrico su [tex]$8$[/tex] oggetti.
Dimostrare che [tex]$H$[/tex] è un sottogruppo di [tex]$S_8$[/tex].
[tex]$H$[/tex] ha [tex]$7!$[/tex] elementi. Naturalmente deve esserci un modo per dimostrare quanto richiesto senza spadellare su un foglio migliaia di calcoli. Un suggerimento?
Non saprei come applicare il lemma: ...
Buongiorno a tutti
Ho il seguente esercizio:
Sia $NN-{0}$ l'insieme dei numri naturali non nulli e $MCD(a,b)$ il massimo comun divisore fra i numeri $a,b$.
Sia $E$ la relazione di equivalenza definita su $NN-{0}xNN-{0}$ da:
$(a,b)E(c,d)\hArr MCD(a,b)=MCD(c,d)$
(1)Determinare la classe di uquivalenza della coppia $(2,2)$ e della coppia $(2,3)$
Ho fatto così:
$(2,2)|E={(c,d) : (2,2)E(c,d)}={(c,d):MCD(c,d)=2}$
$(2,3)|E={(c,d) : (2,3)E(c,d)}={(c,d):MCD(c,d)=1}$
Ok?
Poi mi chiede.
(2)Per ...
Esercizio: Sia [tex]$S_n$[/tex] il gruppo simmetrico su [tex]$n$[/tex] oggetti e sia [tex]$X \subset \{ 1 , 2 , ... , n \}$[/tex].
Definiamo [tex]$E_X = \{ \tau \in S_n | \tau(i) = i , \forall i \in X \}$[/tex]. Supponiamo inoltre che [tex]$|X| = k$[/tex]. Quanti elementi contiene [tex]$E_X$[/tex]?
In sostanza gli elementi del sottogruppo [tex]$E_X$[/tex] sono riordinamenti su [tex]$n$[/tex] oggetti, [tex]$k$[/tex] dei quali vengono posizionati nei ...
Esercizio 1.
a.) Quanti $ x in Z $ con 12321 $ <= $ x $ <= $ 87678 esistono con tutte le cifre distinte tale che x è pari e non contenga
34 come sotto string.
b.) Quante soluzioni ci sono dell’equazione x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 14000, dove x1, . . . , x6 $ in Z$ e
x1, . . . , x6 $ >=$ 0, con 110 $ <= $ x1$ <= $ 1100, 440 $ <= $ x4 $ <=$ 4400, 500 $ <= $ x5 ...
salve a tutti! potete aiutarmi per favore in questo esercizio: Sia A un insieme e S1; S2 € P(A). Si dimostri che A \ (S1 U S2) = (A \ S1) п (A \ S2).... So che devo dimostare le due inclusioni.. e considerare un elemento nell'insieme e dimostrare che sta anche nell'altro.. ma vorrei capire se il ragionamento che faccio dopo a giusto... se potete aiutarmi per confrontare..grazie in anticipo
salve ragazzi sono ormai ore che cerco di dimostrare che $varphi(n)=n\prod_{p|n_{p Primo}}(1-1/p)$ ma non ci sono riuscito...ho cercato un po' su internet ma la dimostrazione che ho trovato mette in mezzo il fatto che $varphi$ sia moltiplicativa ma dato che nel corso di studi non abbiamo affrontato questo argomento non mi sembra opportuno studiare questa dimostrazione...qualcuno ha da fornirmi una dimostrazione che non utilizzi questo? grazie
Ri-salve a tutti,
mi sono imbattuto in un altro esercizio che mi suscita dubbi.
Sia [tex]f(x)=(x^4-2)(x^3-27)\in Q[x][/tex], sia K il suo campo di spezzamento su [tex]Q[/tex], sia G il suo gruppo di Galois su [tex]Q[/tex]. Calcolare il grado dell'estensione e trovare un insieme di generatori per G e le loro relazioni. Quale è la struttura di G come gruppo astratto?
Beh, ho trovato che il grado dell'estensione è 16. Ma per trovare i generatori di G? Insomma, G ha 16 elementi, ma di gruppi ...
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi lumi su un esercizio di algebra I che mi è capitato a tiro.
a) Dato l'ideale [tex]I=(4,2+6i)[/tex] in [tex]A=Z[/tex], si chiede se [tex]A/I[/tex] è un campo, un dominio e se è ridotto.
b) Trovare H,K ideali di A tali che [tex]H\subset I\subset K[/tex], [tex]A/K[/tex] campo e [tex]3[/tex] non sia invertibile in [tex]A/H[/tex]
a) La prima idea che ho avuto è cercare di vederlo come ideale principale (visto che Z è a ideali principali), per semplificarmi un po' ...
Salve, scusate ma non riesco a capire perchè queste tre definizioni sono equivalenti:
Sia G=(V,L) un grafo finito allora:
1)G è un albero
2)G è connesso e |V|=|L|+1
3)G è una foresta e |V|=|L|+1
ed in particolare come posso dimostrare che se T=(V,L) è un albero finito esso ha
|V|=|L|+1 ossia il numero dei vertici è uguale al numero dei lati +1??
grazie
Sia dato in Q[x] il polinomio $ (x)^(5)+(x)^(4)+(x)^(3)+(x)^(2)+ x +5 $ : esso è riducibile in Q[x] ? Purtroppo non è applicabile Eisenstein ne alcuno dei criteri che verta sulla ricerca di qualche peculiare numero primo , data la presenza dei tanti "1" . Cosa mi suggerite di fare ? Saluti
Sto facendo un esercizio sui campi di spezzamento e mi sono ritrovato a fattorizzare il seguente polinomio:[tex]$p(x)=x^3-5x-5$[/tex] (irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] per il criterio di Eisenstein).
Ho provato in vari modi, ma tutto quel che sono riuscito a determinare è che ha una radice reale e due non reali.
Ho scritto il polinomio allora nella [tex]$(x-a)(x^2-2\alpha x + \alpha^2+\beta^2)$[/tex] con [tex]$a, \alpha \pm i\beta$[/tex] radici del polinomio e l'ho eguagliato a [tex]$p(x)$[/tex], ...
Salve a tutti,
mi dispiace disturbarvi per una questione tanto stupida,ma avrei bisogno di conferme e/o spiegazioni.
Devo svolgere un esercizio in cui mi è richiesto di calcolare la caratteristica dei seguenti anelli:
$Z_12 x Z_28 $;
$Z x Z_8 $;
$ F_81$ ,cioè un campo con 81 elementi.
Partendo dalla definizione devo trovare quell'n tale che 1+1+....+1 =0.
Nel primo caso ho che in $Z_12$ n=12,in $Z_28$ n=28 , ma allora la caratteristica ...
Salve vorrei sapere come dimostrare che a partire dalle due definizioni di ordinamento in un reticolo come abbreviazione equazionale ( x
Ciao, ho un dubbio sul seguente esercizio:
Può esistere un morfismo suriettivo da $(QQ[x])/(x^3-3)$ a $(QQ[x])/(x^3-1)$ ?
Pongo $A=(QQ[x])/(x^3-3)$ e $B=(QQ[x])/(x^3-1)$, per semplificare la notazione.
Per essere un morfismo, lo $0_A$ deve andare nello $0_B$, quindi:
parto dallo $0_A=(x^3-3)$, se considero la sua classe di equivalenza in $B$ ottengo $x^3-3+(x^3-1)$.
Ma $x^3-3+(x^3-1)=0_B hArr x^3-1$ divide $x^3-3 $.
Facendo la divisione ottengo: ...
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