Come determinare gli ideali di un insieme prodotto
Ho già postato qualche giorno fa una discussione su come capire quali sono gli ideali di un insieme. Però ho ancora molte difficolta negli esercizi per determinarli, l'esercizio che non riesco a svolgere è questo:
determinare gli ideali dell'anello $ZZ_4 xx ZZ_6$.
Io ho provato a ragionare così: visto che non è un dominio di integrità non può essere neanche un campo, quindi non posso sperare che gli ideali siano solo quello nullo e l'anello stesso, ho provato quindi a costruirmi un omomorfismo che andasse da l'anello dato ad uno con la stessa caratteristica, che a me viene 12, per poi valutarne il nucleo che so essere un ideale dell'anello, quindi dovrei trovare un omomorfismo $ phi : ZZ_4 xx ZZ_6 -> ZZ_12$ ho provato alcune strade tipo la moltiplicazione tra le due componenti o la loro somma, ma ho verificato che non sono assolutamente omomorfismi, c'è qualcuno ch e può darmi una mano per favore...!!!
determinare gli ideali dell'anello $ZZ_4 xx ZZ_6$.
Io ho provato a ragionare così: visto che non è un dominio di integrità non può essere neanche un campo, quindi non posso sperare che gli ideali siano solo quello nullo e l'anello stesso, ho provato quindi a costruirmi un omomorfismo che andasse da l'anello dato ad uno con la stessa caratteristica, che a me viene 12, per poi valutarne il nucleo che so essere un ideale dell'anello, quindi dovrei trovare un omomorfismo $ phi : ZZ_4 xx ZZ_6 -> ZZ_12$ ho provato alcune strade tipo la moltiplicazione tra le due componenti o la loro somma, ma ho verificato che non sono assolutamente omomorfismi, c'è qualcuno ch e può darmi una mano per favore...!!!
Risposte
UP!
In generale, se $R$ e $S$ sono due anelli commutativi, gli ideali dell'anello
prodotto $R\times S$ hanno la forma $I\times J$ dove $I$ e' un ideale di
$R$ e $J$ e' un ideale di $S$. Basta quindi determinare gli ideali di $\ZZ_n$ per $n=4$ e $n=6$.
Per ogni divisore $d$ di $n$, i multipli di $d$ dentro $\ZZ_n$ formano un ideale:
quello generato da $d$. Viceversa, ogni ideale di $\ZZ_n$ ha questa forma
per un unico divisore $d>0$. Quindi, gli ideali di $\ZZ_4\times\ZZ_6$ sono quelli
generati dalle copie $(d,d')$ dove $d$ e' un divisore di $4$ e $d'$ e' un divisore di $6$.
Poiche' $4$ ha 3 divisori e $6$ ne ha 4, l'anello $\ZZ_4\times\ZZ_6$
possiede esattamente $3\times 4=12$ ideali.
prodotto $R\times S$ hanno la forma $I\times J$ dove $I$ e' un ideale di
$R$ e $J$ e' un ideale di $S$. Basta quindi determinare gli ideali di $\ZZ_n$ per $n=4$ e $n=6$.
Per ogni divisore $d$ di $n$, i multipli di $d$ dentro $\ZZ_n$ formano un ideale:
quello generato da $d$. Viceversa, ogni ideale di $\ZZ_n$ ha questa forma
per un unico divisore $d>0$. Quindi, gli ideali di $\ZZ_4\times\ZZ_6$ sono quelli
generati dalle copie $(d,d')$ dove $d$ e' un divisore di $4$ e $d'$ e' un divisore di $6$.
Poiche' $4$ ha 3 divisori e $6$ ne ha 4, l'anello $\ZZ_4\times\ZZ_6$
possiede esattamente $3\times 4=12$ ideali.
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