Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

ragazzi è vero che il prodotto di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale(escluso il caso di un numero irrazionale per se stesso)?

Salve a tutti, nelle dispense della mia professoressa non riesco a capire una cosa e speravo voi potesse darmi una mano. Il teorema di Ruffini dice: Se \(\displaystyle f \) è un polinomio, \(\displaystyle z \)un numero e \(\displaystyle g(x)=(x-z) \) allora il resto \(\displaystyle r(x)=f(z) \). Dimostrazione: Esistono \(\displaystyle q \) ed \(\displaystyle r \)tali che \(\displaystyle f(x)=q(x)(x-z)+r(x) \), con \(\displaystyle r< \)grado di \(\displaystyle (x-1)=1 \), questo implica che ...

ciao volevo sapere come fare queste due dimostrazioni di fondamenti della matematica: - mostrare che (X$uu$Y)$nn$Z = (X$nn$Z)$uu$ (Y$nn$Z) e che (X$nn$Y)$uu$Z=(X$uu$Z)$nn$ (Y$uu$Z) -mostrare che ci sono classi che non sono insiemi Grazie mille!

Ciao a tutti. Sto preparando una presentazione di topologia differenziale che devo tenere domani e non mi è chiarissimo un dettaglio stupido di insiemistica! Siccome ci ho già perso abbastanza tempo, se qualcuno può darmi una mano gli sono grato. E' vera in generale l'uguaglianza: $f(f^(-1)(A)nnB)=Annf(B)$ ? L'inclusione $sube$ è banale, l'altra a occhio l'avrei detta falsa ma invece...: $yinAnnf(B)=>y=f(x)$ con $x inB, x inf^(-1)(A)=>y=f(x)inf(f^(-1)(A)nnB)$ Sbaglio? Non si riesce a mostrare in modo più "elegante", ...

Siano $ f= x^2+3x+3 $ e $ g=x+3 $ polinomi di $ Z[x] $ Provare che gli ideali $ (f) $ e $ (g) $ sono primi ma non massimali e che $ (f)+(g) $ è massimale. Quanti elementi ha il campo $ {Z[x]]/{(f)+(g)} $ $ Z[x] $ è fattoriale quindi basta osservare che per Eisenstein $ f $ è irriducibile (e quindi primo), mentre $ g $ è irriducibile perchè ha grado 1. Ora devo dimostrare che $ {Z[x]}/{(f)} $ non è un campo. ...

Salve a tutti, sto studiando dei vecchi appunti di Algebra Commutativa e mi sono imbattuto in un'affermazione apparentemente banale ma che non riesco a dimostrare. Sia $K[X_1, ... , X_n]$ un anello di polinomi con $K$ campo e sia $I$ un ideale monomiale. $I$ è un ideale primario se e solo se si presenta come: $I=(X_{a_1}^{b_1}, ... , X_{a_r}^{b_r}, m_1, ... , m_s)$ con gli $a_i$ indici distinti (e cioè $X_{a_i}$ variabili distinte) con $b_i \ge 1$ per ogni ...

Ciao a tutti!! Sto procedendo nell'analisi di una dimostrazione geometrica e per ipotesi so che $ h geq 2 $ e che $ hn - (n-k) $ divide $ hn $ . Allora, secondo la dim., questo implica che $ hn - (n-k)= hn $ oppure $ hn - (n-k)leq ((hn)/2) $ Sapreste spiegarmi perchè? Grazie

C'è un teorema che mi permette di elencare tutti i sottogruppi di $ ( \mathbb{Z}\\100\mathbb{Z}, +)$? Grazie a tutti!

Ciao a tutti, sto incartato da stamattina su un'affermazione che fa il mio libro, ovvero che "si puo' facilmente mostrare che" $phi(n) >= sqrt(n) $ per n>6 Bene ho provato a mostrarlo e saro' cretino io, ma sono tre ore che ci sbatto la testa e non ci riesco. Ho anche cercato su internet la questione, e tutti i siti fanno la stessa affermazione, catalogandola come "diseguaglianza elementare" e non fornendo una dimostrazione. Io posso pure crederci e fidarmi, ma ho il blocco che se non ho una ...

Salve a tutti avrei una piccola domandina, alla quale mi sono parzialmente risposto da solo ma vorrei una conferma. In una dimostrazione su un libro sto leggendo: Abbiamo la stima $|\epsilon_{n+1}| <= (1+hL)|\epsilon_n| + 1/2 h^2 M $ e "una semplice induzione mostra che" $|\epsilon_{n}| <= (1+hL)^n |\epsilon_0| + 1/2 h^2 M \sum_{k=0}^{n-1} (1+hL)^k $ Che è vero "Se vede" Però mi sfugge il ragionamento rigoroso per arrivarci. Il principio di induzione l'ho capito, ma io l'ho sempre visto dimostrando la proprietà per n+1 partendo da n In questo caso è al contrario, partendo da n ...

Sia $ A $ un anello fattoriale (che non sia un campo) allora l'anello dei polinomi $ A[x] $ è fattoriale ? Boh. Provo a dimostrarlo. Sia $ p $ un polinomio a coefficienti in $ A $. Se $ gr(p)=0 $ allora $ p $ è costante e quindi se non è invertibile si scompone in un unico modo come prodotto di elementi irriducibili perchè per ipotesi A è fattoriale. Sia $ gr(p)=n>0 $ e supponiamo che ogni polinomio di grado minore di ...

Buonasera a tutti!Ho difficoltà con il seguente esercizio..in particolare non so dimostrare se è distributivo e/o complementato. Spero possiate aiutarmi, mi togliereste un grandissimo dubbio Si consideri l'applicazione $F:NN->P(NN)$ definita da $x \epsilon NN, F(x)={y \epsilon NN:$ y divide x e y non è primo$}$. Sia $\rho$ la relazione d'ordine definita da: $x \rho y$ $hArr$ $(x=y $ oppure $F(x) sub F(y) $) Sia $X={4,5,6,12,24}$ e studia la ...

Ciao, sono alle prese col principio di induzione, a livello teorico ho capito che la dimostrazione per induzione completa avviene in due fasi, P(0) passo base e P(n+1) passo induttivo, il problema è come ragionare per la dimostrazione, vi faccio un esempio: ho questa sommatoria: $ sum_(i = 1)^(n) 2i - 1 = n^2 $ il passo base P(1) si risolve sostituendo 1 ad i ed ottengo 1 = 1 , quindi il passo base è verificato, ora devo dimostrare il passo induttivo P(n+1), la parte destra dopo l'uguale ...

Buongiorno a tutti, quando si definisce la nozione di INSIEME in senso matematico di solito si dicono 2 cose: 1) Deve essere definito un CRITERIO OGGETTIVO per selezionare gli elementi che appartengono all'insieme (a volte questo criterio oggettivo viene definito "proprietà caratteristica"; 2) Gli elementi che appartengono all'insieme devono essere DISTINTI. Il motivo della 1) è semplice: se il criterio non è oggettivo o non riesco a costruire l'insieme, o persone diverse costruirebbero ...

Nella dimostrazione di un certo teorema di teoria dei gurppi ad un certo punto ci sono i seguenti passaggi: Sia $G$ gruppo, $A$ sottogruppo di $G$ di indice $n$ non normale. Sia $X$ il sottogruppo massimale di $A$ che è normale in $G$. Allora il gruppo quoziente \(G/X \) è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico sui laterali destri di $A$, cioè ad un sottogruppo di ...

trovare le soluzioni di x^35 = 1 (mod37). mi era venuta un'idea... provando a caso con wolfram alpha la funzione x^35 mod37 è bigettiva, ciò significa che l'unica soluzione ce l'ho per x=1; ho pensato che la cosa fosse valida per ogni funzione x^k mod n con n e k primi, ma un primo controesempio si ha per k=2 e n=5; quindi come dimostrare che l'unica soluzione è x=1 ? e più in generale, quando una funzione x^k mod n è bigettiva? ps: scusate per l'ordine un po' confusionario, ma non so usare ...

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi nella dimostrazione di questa proprietà? \(\displaystyle A⊆B ⇔ A∪B = B \) Ho tentato di dimostrare prima l'implicazione ⇒ e poi ⇐ ma arrivo ad un vicolo cieco -.-

Innanzitutto buona serata a tutti! Ho il seguente esercizio da risolvere sui gruppi: i)Per questa prima parte non capisco se devo dare la dimostrazione del teorema che dice che prese [tex]f \wedge g[/tex] biiettive la composizione [tex]g \circ f[/tex] è anch'essa una funzione biiettiva o altro... ii)[tex]({S}_{X},\circ)[/tex](con [tex]\circ[/tex] prodotto operatorio o composizione tra funzioni) è un gruppo perchè: - supposto di avere [tex]\forall h,g,f \in {S}_{X}[/tex](con [tex]h,g,f[/tex] ...

Salve, devo dimostrare che Z[x]/(I), dove I=(5x, x^2), non è un dominio. Innanzitutto I=(5x, x^2)=(x) perchè M.C.D(5x,x^2)=x. A questo punto mi basta dimostrare che I non è un ideale primo. Ma: (x)={tutti i polinomi su Z con termine noto=0}? Se, come credo, così fosse, dovrei trovare 2 polinomi in Z[x] non appartenenti ad I, tali che moltiplicati fra loro mi diano un polinomio con termine noto nullo......ho la sensazione che mi stia perdendo in un bicchiere d'acqua, tuttavia non capisco!

Salve a tutti, vorrei sapere se esiste un metodo per calcolare tutte le n radici n-esime di un numero. Es. \(\displaystyle \sqrt[4]{9}= \pm\sqrt{3}\) e \(\displaystyle \pm i \cdot\sqrt{3} \) Ci sono arrivato per tentativi ma esiste un metodo più generale? Grazie