Aiuto esercizi sui sottogruppi
Salve, vi propongo due esercizietti che non riesco ad impostare sui sottogruppi.
1) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ non ci sono sottogruppi di ordine 9
2) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ delle permutazioni su ${1,2,3,4,5,6,7}$ c'è almeno un sottogruppo ciclico di ordine 12.
Nota: con $\mathbb(S)_7$ si intende il gruppo simmetrico di ordine 7
1) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ non ci sono sottogruppi di ordine 9
2) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ delle permutazioni su ${1,2,3,4,5,6,7}$ c'è almeno un sottogruppo ciclico di ordine 12.
Nota: con $\mathbb(S)_7$ si intende il gruppo simmetrico di ordine 7
Risposte
provo a dire qualcosa in merito al punto 1:
secondo il th di Lagrange i sottogruppi $H$ di un gruppo finito $G$ hanno ordine che divide l'ordine del gruppo $G$
ora ti chiedo, il gruppo $S_7$ è finito? e il suo ordine qual'è?
se 9 divide l'ordine di $S_7$ allora l'affermazione del punto 1 è falsa.
per il punto 2 ci ragiono un attimo e ti dico la mia
ps. non prendere come oro colato quello che dico, sto provando a ragionare insieme a te, sono in fase di studio anche io
secondo il th di Lagrange i sottogruppi $H$ di un gruppo finito $G$ hanno ordine che divide l'ordine del gruppo $G$
ora ti chiedo, il gruppo $S_7$ è finito? e il suo ordine qual'è?
se 9 divide l'ordine di $S_7$ allora l'affermazione del punto 1 è falsa.
per il punto 2 ci ragiono un attimo e ti dico la mia
ps. non prendere come oro colato quello che dico, sto provando a ragionare insieme a te, sono in fase di studio anche io
1) Il consiglio è di usare il teorema di Lagrange come detto.
Se $9$ dividesse $|S_7|$ non è assicurata l'esistenza di un sottogruppo di ordine $9$. Famoso è il caso di $A_4$ che ha ordine $12$ ma non possiede alcun sottogruppo di ordine $6$.
Sicuramente però se $9$ non divide $|S_7|$ allora tale sottogruppo non può esistere.
2) Un gruppo è ciclico se esiste un elemento $g$ che genere il gruppo. Quindi trovare un gruppo ciclico di ordine $12$ equivale a determinare il suo generatore $g$.
Considera che il periodo di una permutazione, scritta sottoforma di cicli disgiunti, è il $m.c,m$ della lunghezza dei cicli. A questo punto dovrebbe essere semplice finire l'esercizio.
Se $9$ dividesse $|S_7|$ non è assicurata l'esistenza di un sottogruppo di ordine $9$. Famoso è il caso di $A_4$ che ha ordine $12$ ma non possiede alcun sottogruppo di ordine $6$.
Sicuramente però se $9$ non divide $|S_7|$ allora tale sottogruppo non può esistere.
2) Un gruppo è ciclico se esiste un elemento $g$ che genere il gruppo. Quindi trovare un gruppo ciclico di ordine $12$ equivale a determinare il suo generatore $g$.
Considera che il periodo di una permutazione, scritta sottoforma di cicli disgiunti, è il $m.c,m$ della lunghezza dei cicli. A questo punto dovrebbe essere semplice finire l'esercizio.
"mistake89":
1) Il consiglio è di usare il teorema di Lagrange come detto.
Se $9$ dividesse $|S_7|$ non è assicurata l'esistenza di un sottogruppo di ordine $9$. Famoso è il caso di $A_4$ che ha ordine $12$ ma non possiede alcun sottogruppo di ordine $6$.
Sicuramente però se $9$ non divide $|S_7|$ allora tale sottogruppo non può esistere.
ti posso chiedere come si calcola l'ordine di $S_7$ in questo caso?
stavo cercando di farlo ma non mi riesce
Che vuol dire "in questo caso"?
L'ordine di $S_n$ è sempre $n!$
L'ordine di $S_n$ è sempre $n!$
"mistake89":
Che vuol dire "in questo caso"?
L'ordine di $S_n$ è sempre $n!$
mi riferivo al calcolo dell'ordine di $S_7$ che a quanto mi dici è proprio $7$ oppure $7!$?
Nel caso di $S_7$ è $7!$
"mistake89":
1) Il consiglio è di usare il teorema di Lagrange come detto.
Se $9$ dividesse $|S_7|$ non è assicurata l'esistenza di un sottogruppo di ordine $9$. Famoso è il caso di $A_4$ che ha ordine $12$ ma non possiede alcun sottogruppo di ordine $6$.
Sicuramente però se $9$ non divide $|S_7|$ allora tale sottogruppo non può esistere.
qui verifico quindi che $9|o(S_7)$ ma non basta per stabilire che esista un sottogruppo di ordine 9 quindi dal momento che la divisibilità è verificata, allora devo anche calcolare il sottogruppo di ordine 9 e solo in questo caso ho dimostrato che esiste, è così?
scusami se faccio osservazioni ovvie ma voglio essere certo di quello che capisco volta per volta
Esatto devi determinarlo, se esiste.
bene, non appena posso ci provo, grazie delle spiegazioni
e spero che la discussione sia utile anche a Whispers visto che mi sono intromesso
e spero che la discussione sia utile anche a Whispers visto che mi sono intromesso
ciao mistake,
allora $9|7!$
ma il fatto che io ho notato, sviluppando il calcolo dei sottogruppi, che si ripetono a gruppi di 7 è proprio perchè il gruppo $S_7$ è simmetrico?
io calcolo che ho fatto io è stato questo
$<2>={,(1357246)}$
$<3>={,(1357246),(1473625)}$
$<4>={,(1357246),(1473625),(1526374)}$
$<5>={,(1357246),(1473625),(1526374),(1642753)}$
$<6>={,(1357246),(1473625),(1526374),(1642753),(1765432)}$
$<7>={,(1357246),(1473625),(1526374),(1642753),(1765432),}$
$<8>={,(1357246),(1473625),(1526374),(1642753),(1765432),,(1357246)}$
$<9>={,(1357246),(1473625),(1526374),(1642753),(1765432),,(1357246),(1473625)}$
ma a questo punto mi sento un po confuso, che conclusioni devo tirare da questi calcoli?
allora $9|7!$
ma il fatto che io ho notato, sviluppando il calcolo dei sottogruppi, che si ripetono a gruppi di 7 è proprio perchè il gruppo $S_7$ è simmetrico?
io calcolo che ho fatto io è stato questo
$<2>={
$<3>={
$<4>={
$<5>={
$<6>={
$<7>={
$<8>={
$<9>={
ma a questo punto mi sento un po confuso, che conclusioni devo tirare da questi calcoli?
Mmm francamente non ho capito molto da quello che hai scritto.
Inoltre $7! =5040$ quindi quel gruppo ha $5039$ elementi non identici. Determinare i sottogruppi a mano è impossibile. Bisogna fare altre considerazioni per far vedere che un gruppo di ordine $3^2$ non esiste.
Magari può essere utile sapere che un gruppo di ordine $9$ o è ciclico o isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$.
Un elemento di ordine $9$ dovrebbe essere un 9-ciclo e su $7$ indici non è possibile farli. E non è possibile determinare un elemento che non sia un $9$-ciclo di ordine $9$.
Quindi un tale sottogruppo non potrà essere ciclico.
Allora dovrà essere isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$, gruppo dove tutti gli elementi non identici hanno periodo $3$. Quindi dovresti trovare $8$ permutazioni di periodo $3$ che formino un sottogruppo.
Ora come escludere questa opportunità in maniera più semplice non ci ho pensato. Però magari partendo da questo si può concludere.
Inoltre $7! =5040$ quindi quel gruppo ha $5039$ elementi non identici. Determinare i sottogruppi a mano è impossibile. Bisogna fare altre considerazioni per far vedere che un gruppo di ordine $3^2$ non esiste.
Magari può essere utile sapere che un gruppo di ordine $9$ o è ciclico o isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$.
Un elemento di ordine $9$ dovrebbe essere un 9-ciclo e su $7$ indici non è possibile farli. E non è possibile determinare un elemento che non sia un $9$-ciclo di ordine $9$.
Quindi un tale sottogruppo non potrà essere ciclico.
Allora dovrà essere isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$, gruppo dove tutti gli elementi non identici hanno periodo $3$. Quindi dovresti trovare $8$ permutazioni di periodo $3$ che formino un sottogruppo.
Ora come escludere questa opportunità in maniera più semplice non ci ho pensato. Però magari partendo da questo si può concludere.
"Whispers":Segnalo che questo è falso: in [tex]S_7[/tex] esistono sottogruppi di ordine 9.
1) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ non ci sono sottogruppi di ordine 9
Ah, grazie Martino. Mi sento meglio, visto che non riuscivo a risolvere l'esercizio 
"Martino":Segnalo che questo è falso: in [tex]S_7[/tex] esistono sottogruppi di ordine 9.[/quote]
[quote="Whispers"]1) Mostrare che nel gruppo $\mathbb(S)_7$ non ci sono sottogruppi di ordine 9
ma come si dimostra?
"mistake89":
Mmm francamente non ho capito molto da quello che hai scritto.
Inoltre $7! =5040$ quindi quel gruppo ha $5039$ elementi non identici. Determinare i sottogruppi a mano è impossibile. Bisogna fare altre considerazioni per far vedere che un gruppo di ordine $3^2$ non esiste.
Magari può essere utile sapere che un gruppo di ordine $9$ o è ciclico o isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$.
Un elemento di ordine $9$ dovrebbe essere un 9-ciclo e su $7$ indici non è possibile farli. E non è possibile determinare un elemento che non sia un $9$-ciclo di ordine $9$.
Quindi un tale sottogruppo non potrà essere ciclico.
Allora dovrà essere isomorfo a $ZZ_3 \times ZZ_3$, gruppo dove tutti gli elementi non identici hanno periodo $3$. Quindi dovresti trovare $8$ permutazioni di periodo $3$ che formino un sottogruppo.
Ora come escludere questa opportunità in maniera più semplice non ci ho pensato. Però magari partendo da questo si può concludere.
in effetti non è molto chiaro perchè non ho chiare le idee, mi riesci a spiegare con parole piu semplici la cosa?
Che in [tex]$\mathrm{Sym}7$[/tex] vi siano sottogruppi di ordine [tex]$9$[/tex] lo si dimostra subito col teorema di Sylow!
Ok, ma non è necessario usare i cannoni 
.. il sottogruppo [tex]\langle (123),(456) \rangle[/tex] ha ordine 9.
.. il sottogruppo [tex]\langle (123),(456) \rangle[/tex] ha ordine 9.
Vi propongo di trovare in [tex]S_7[/tex] un sottogruppo di ordine [tex]144[/tex]. 
E anche uno di ordine [tex]42[/tex].
E anche uno di ordine [tex]42[/tex].
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