Esercizio Gruppo di permutazioni
Ciao, mi potreste dare una mano con questo esercizio, scrivendomi una soluzione esaudiente con spiegazioni alla risoluzione.
Sia S6 il gruppo delle permutazioni di 6 elementi e sia:
f = (1 3) ° (1 2 4)
a) Quanti elementi ha S6?
b) Si scriva f come prodotto di cicli disgiunti e come prodotto di trasposizioni.
c) Si calcolino f^2 = f°f, f^3 = f^2°f, f^4 = f^3°f
d) Si scriva la defenizione di gruppo e di sottogruppo
e) Si dimostri che {f, f^2, f^3, f^4} è un sottogruppo di S6
Grazie
Sia S6 il gruppo delle permutazioni di 6 elementi e sia:
f = (1 3) ° (1 2 4)
a) Quanti elementi ha S6?
b) Si scriva f come prodotto di cicli disgiunti e come prodotto di trasposizioni.
c) Si calcolino f^2 = f°f, f^3 = f^2°f, f^4 = f^3°f
d) Si scriva la defenizione di gruppo e di sottogruppo
e) Si dimostri che {f, f^2, f^3, f^4} è un sottogruppo di S6
Grazie
Risposte
Quali sono i tuoi problemi? E' un esercizio non molto difficile, e piuttosto standard, dove ti blocchi? 
La risposta A) è 6!
Per il resto ho difficoltà nel capire come gestire il ciclo perchè il numero 1 compare in entrambi i cicli.
Mi potreste aiutare?
Grazie, lo sò che è semplice ma sto avendo parecchie difficoltà sono un po' arruginito!
Per il resto ho difficoltà nel capire come gestire il ciclo perchè il numero 1 compare in entrambi i cicli.
Mi potreste aiutare?
Grazie, lo sò che è semplice ma sto avendo parecchie difficoltà sono un po' arruginito!
Io leggo i cicli da sinistra verso destra. Lo specifico perché non è uguale per tutti!
Comunque scrivendo esattamente i percorsi si ha:
$1 \to 2$
$2 \to 4$
$3 \to 1$
$4 \to 1 \to 3$
Quindi la permutazione è $(1 2 4 3)$.
Tutto chiaro?
Riesci ora a terminare l'esercizio da solo?
Comunque scrivendo esattamente i percorsi si ha:
$1 \to 2$
$2 \to 4$
$3 \to 1$
$4 \to 1 \to 3$
Quindi la permutazione è $(1 2 4 3)$.
Tutto chiaro?
Riesci ora a terminare l'esercizio da solo?
Quindi (1 2 4 3) è il prodotto di cicli disgiunti o prodotto di scambi? Secondo me è un ciclo disgiunto.
Il prodotto di scambi è, cercando di capire, (1 2)(1 4)(1 3)
quindi f^2 = (1 2 4 3)° (1 2 4 3) e qua come mi comporto?
Il prodotto di scambi è, cercando di capire, (1 2)(1 4)(1 3)
quindi f^2 = (1 2 4 3)° (1 2 4 3) e qua come mi comporto?
Alla stessa maniera.
Partendo sempre da destra:
$1 \to 2 \to 4$
$4 \to 3 \to 1$
$2 \to 4 \to 3$
$3 \to 1 \to 2$
Praticamente prendi un indice qualsiasi del ciclo a dx e lo invii nel numero esattamente alla sua destra, successivamente vedi dove il ciclo di sx invia il nuovo numero.
Ci vuole solo un po' di pratica.
Ovviamente quello che abbiamo scritto prima è la permutazione sottoforma di cicli disgiunti.
Partendo sempre da destra:
$1 \to 2 \to 4$
$4 \to 3 \to 1$
$2 \to 4 \to 3$
$3 \to 1 \to 2$
Praticamente prendi un indice qualsiasi del ciclo a dx e lo invii nel numero esattamente alla sua destra, successivamente vedi dove il ciclo di sx invia il nuovo numero.
Ci vuole solo un po' di pratica.
Ovviamente quello che abbiamo scritto prima è la permutazione sottoforma di cicli disgiunti.
Quindi se ho capito bene f^3 sarà così:
f^3 = (1 2 4 3)° (1 2 4 3)° (1 2 4 3)
1-->2-->4-->3
2-->4-->3-->1
3-->1-->2-->4
4-->3-->1-->2
f^3 = (1 2 4 3)° (1 2 4 3)° (1 2 4 3)
1-->2-->4-->3
2-->4-->3-->1
3-->1-->2-->4
4-->3-->1-->2
Mentre per il punto e, come faccio a dimostrare che {f,f^2,f^3,f^4} sono sottogruppi di S6?
$f^3$ mi sembra giusto.
Basta mostrare che è chiuso rispetto alla moltiplicazione e che ha gli inversi per ogni elemento.
Oppure potresti far vedere che è isomorfo a $ZZ_4$ e quindi avresti "gratis" il fatto che è un sottogruppo.
Basta mostrare che è chiuso rispetto alla moltiplicazione e che ha gli inversi per ogni elemento.
Oppure potresti far vedere che è isomorfo a $ZZ_4$ e quindi avresti "gratis" il fatto che è un sottogruppo.
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