Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Scrivo perchè mi trovo un attimino in difficoltà con alcuni esercizi. Ad esempio dato (Q, +) devo trovare il sottogruppo minimo contenente ${2/3,3/2}$ e dimostrare che esiste un numero razionale $m/n$ tale che H risulti essere il minimo sottogruppo contenente $m/n$ Ora dalla definizione ricordo che il sottogruppo che sto cercando è il sottogruppo generatore di ${2/3,3/2}$. Sebbene in caso di gruppi finiti mi aiuto con LaGrange, qui non saprei come ...

Salve a tutti, sto cercando di imparare questi teoremi di sylow, se qualcuno mi da un parere su questi esercizi che ho fatto riceverà in cambio tanta gratitudine 1) Sia $ G $ un gruppo e $ H $ un sottogruppo normale. Sia $ P $ un p-sylow di $ G $, mostrare che $ P \cap H $ è un p-sylow di $ H $. Sia $ K_H $ un p-sylow di $ H $, allora esiste un p-sylow $ K <= G $ tale che $ K_H <= K $ e ...

Sia \(\displaystyle \langle a \rangle \) un gruppo ciclico di ordine 5 e sia $ x $ l'automorfismo definito da $ a^x=a^2 $ Determinare l'ordine e i sottogruppi di \(\displaystyle G= \langle x \rangle \ltimes \langle a \rangle \) Allora... $ a \rightarrow a^2 \rightarrow a^4 \rightarrow a^3 \rightarrow a $ pertanto $ x $ ha periodo 4 e $ G $ ha ordine $ 4 xx 5=20 $ Poi ho trovato questi sottogruppi di ordine 2 ovvero \(\displaystyle \langle x^2a^n \rangle \) con $ 0 <= n < 5 $, poi ...

Sto rivendendo un pò la teoria relativa ai polinomi, e nella mia dispensa si parla di ideali principali come presupposto alla divisione euclidea tra polinomi. Verificando in diversi testi ho che la definizione di ideale è la seguente: Sia $(A,+,*)$ un anello, e sia $I$ un sottoanello di $A$. $I$ è un ideale se $AAa in A$, $EEi in I$ tale che $i*a in I$ e $a*i in I$. Nella mia dispensa invece trovo la seguente ...

ciao a tutti..non riesco a risolvere un esercizio, posto qui il testo "Si considerino gli ideali \( I=(26) \) e \( J=(12+5i) \) nell' anello \( A=Z\). Descrivere il reticolo degli ideali di \(A/I \) specificando quali fra essi sono primi, e calcola gli elementi nilpotenti. Stabilire se l' anello \(A/(I+J)\) è un dominio finito." Se al posto di \(Z\) ci fosse stato \(Z \) non avrei avuto problemi in quanto avrei dovuto prendere i divisori di \(26\) e sfruttare il teorema di corrispondenza tra ...

Come posso vedere (o far vedere) che queste due sommatorie sono "uguali"? $\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{j} a_{j-h} b_h c_{i-j}$ (1) $\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h} a_j$ (2) Come sono entrato in questo incubo? Semplicemente per "tentare" di dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra polinomi definito come $p,q\in\mathbb{K}[x]$ di grado minore o uguale ad n, $p\cdot q = \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \(a_j b_{i-j}\)x^i$ ho calcolato "separatamente" i due prodotti (pq)r e p(qr) e sono arrivato alla (1) e (2)...sono equivalenti?

Sia $ G $ un gruppo e $ H,K $ due sottogruppi normali tali che $ G=H xx K $ . Sia $ N $ un sottogruppo normale di $ G $ non contenuto in $ Z(G) $ e tale che $ N \cap H = {1} $ Provare che $ N \cap K \ne {1} $ Allora... io pensavo di dimostrare che l'ordine di $ N \cap K $ è diverso da 1 ... ma non ci riesco Dato che $ H $ e $ N $ sono normali e $ N \cap H = {1} $ allora $ |H xx N| $ divide ...

sia $F={0,1}$ il campo finito con 2 elementi e $f(x)=x^3+x+1$ un polinomio irriducibile su F. Devo costruire il campo finito con 8 elementi usando una radice $alpha$ di f(x). io direi questo, vi chiedo di corregermi nelle parti sbagliate: poichè f è irriducibile, allora esiste un campo E, estensione di F, in cui ci sono tutte le radici di f, e dunque anche $alpha$. Dunque f è il polinomio minimo di $alpha$ su F. per costruire questo campo costruisco cosi ...

Salve. Durante lo studio della parte iniziale della teoria dei gruppi ho trovato la seguente proposizione: Sia G un gruppo e sia X una parte non vuota di G. Allora il sottogruppo generato da X è l'insieme di tutti i prodotti xcon1....xconn,ove n è un numero naturae e ciascun fattore xconi appartiene ad X oppure è inverso di un elemento di X. Durante la dimostrazione di questa proposizione si considera un insieme L(stampato) che contiene tutti i prodotti xcon1....xconn: ciò che vorrei capire è ...

Salve, avrei bisogno di una mano. Sia A un anello non nullo, provare che un ideale I di A è radicale se e solo se è intersezione di ideali primi. Allora,se è intersezione di primi allora è radicale (ok), ma non riesco a fare il viceversa. Se sapessi che I ammette una decomposizione primaria allora sarebbe facile, ma in generale questo non è vero. Come si potrebbe procedere? Grazie

Dato un numero algebrico $\gamma$, chiamiamo "coniugati di $\gamma$" le radici del suo polinomio minimo. (È noto che dati due numeri algebrici $\alpha,\ \beta$ anche il loro prodotto $\alpha\beta$ è algebrico.) È vero che ogni coniugato di $\alpha\beta$ è il prodotto di un coniugato di $\alpha$ e un coniugato di $\beta$?

Allora mi sto dedicando infruttuosamente da un po' di tempo a questo problema di conteggio: Presi due insiemi $N$ $X$ quante sono le funzioni arricchite, cioè tutte quelle funzioni di cui l'insieme composto dalla retroimmagine di un elemento $x$ possiede un ordine per ogni elemento $x$$inX$, con $X$ non distinguibile ed $|N|=n$ e $|X|=x$? Un esempio è il seguente: $f,gN\toX$ se ...

Ragazzi ho la seguente relazione $S={1,2,3,4,5,6} e P={2,4}$ $X, Y in P(S)$ $X sigma Y <=> X uu Y sube Y uu X$ Qualcuno mi può dire se è di ordine questa relazione?

Ho la seguente permutazione $in S_6$ $sigma = (156)(24)(16)$ è equivalente a scriverla come : $sigma = ((1,2,3,4,5,6) ,(5,4,3,2,6,1))$ ??? Il mio dubbio sorge per il $(1 6)$ finale che quindi non è scritta in cicli disgiunti...se è sbagliata mi chiarite come andrebbe considerata? Altro dubbio: mi potete dare una delucidazione su come svolgere le "potenze di permutazioni"? esempio $sigma^8$ come si calcola? io so che si può calcolare come $sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma$ cioè come composizione di ...

Sia $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo proprio massimale , supponiamo inoltre che esista un elemento $anotinH$ tale che $aHa^(-1)=H$, allora $H$ è normale in $G$?? Facevo il seguente ragionamento: $H$ massimale in $G$ significa credo che non esiste alcun sottogruppo proprio $K$ di $G$ tale che risulti $GsubKsubH$, se non sbaglio inoltre esiste un sottogruppo ...

Ciao a tutti ragazzi, questo è il mio primo post. Arrivo al sodo, voglio fare l'esonero di Matematica Discreta per il corso di informatica. Il problema e che riesco ad usare il principio di induzione ne le relazioni di equivalenza sulla divisione! Per l'induzione ci riesco soltanto su quei esercizi con la sommatoria e/o uguaglianza ma non ci riesco con quelli con minore/maggiore oppure con le divisioni! Mentre per la relazione di equivalenza oltre a x|(p-q) non riesco a determinare se è di ...

Salve a tutti, spero di non aver sbagliato sezione. La questione che vi pongo è legata, in generale, alle serie del tipo $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i}{b_i} = r \in RR\\QQ$ con $a_i, b_i \in NN, AA i \in NN$. Ho preso l'esempio di $\zeta(2)$ per semplicità ($\zeta(*)$ è la funzione zeta di Riemann per intenderci). Sappiamo più o meno tutti che $\zeta(2) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \in RR\\QQ$ Però è anche vero che $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} = S_n = \frac{a_n}{b_n}$ dove: $b_n = \lcm (1^2,2^2,...,n^2) \in NN, AA n \in NN$ $a_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lcm(1^2,...,n^2)}{i^2} = \sum_{i=1}^{n} q_i \in NN, AA n \in NN$ (essendo $i^2 | \lcm(1^2,...,n^2), AA i \in 1 -: n$, mentre $q_i$ è il quoziente che esce ...

Un saluto a tutti,mi chiamo Stefano; Per prima cosa complimenti per il sito.In secondo luogo avrei una domanda da rivolgere a chi è più esperto di me; Premetto che non ho mai studiato Teoria dei Numeri ma,studiando Probabilità, mi è capitato di imbattermi in una questione per me non banale :dato un numero naturale c , in quanti e quali modi posso esprimere c come prodotto fra due numeri naturali ? Per esempio 4 lo posso vedere come il prodotto fra 1 e 4, fra 4 e 1 e fra 2 e 2. Grazie in ...

Buonasera a tutti! Ho difficoltà nello svolgere i seguenti punti di questo esercizio, qualcuno può aiutarmi gentilmente? Sia $f=(x^2+ bar 2)(x^2+ bar 4)(x^2+7 bar a) $ $ \epsilon$ $ZZ_13[x]$. Trovare,se possibile: i) un $bar a$ tale che $[3]_13$ non sia una radice di f ii) un $bar a$ tale che f sia irriducibile in $ZZ_13$ Per quanto riguarda il punto i) so che in realtà $bar 3$ è una radice di f in quanto è radice di $x^2 + bar 4$, ma per trovare la ...

Salve a tutti, non riesco a capire una cosa riguardo il polinomio di Artin: Sia $F$ un campo di caratteristica $p>0$ e si consideri il polinomio $f(x)=x^p-x-a$ con $a\in F$. Ora sui libri e in rete leggo che se $\alpha$ e' una radice di $f(x)$ in una certa estensione $K$, allora lo sono anche $\alpha+1$, $\alpha+2$ ... $\alpha+p-1$, cosi' mi sono messo a fare i conti per verificare. Sia ...