Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Stavo studiando un pò il teorema che dice che un gruppo di ordine $ pq $ con $ p>q $ primi tali che $ p \ne 1 (mod q) $ è ciclico, così ho pensato che forse una teorema analogo si poteva costruire nel caso $ pqr $ e ho cercato di dimostrare questa proposizione ( ... che come tutte le mie congetture sicuramente risulterà sbagliata ) Siano $ p>q>r $ numeri primi tali ...

Fra una portata e l'altra del pranzo di natale mi sono messo a fare un problema sui p-gruppi ( si, sono fissato! xD ) 1) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^3 $ (con p primo) non abeliano, mostrare che $ Z(G) $ ha ordine p. Trattandosi di un p-gruppo il centro non è banale. Ovviamente non può avere ordine $ p^3 $ perchè $ G $ non è abeliano. Se avesse ordine $ p^2 $ allora $ G/{Z(G)} $ avrebbe ordine $ p $ e ...

Ciao a tutti.. mi chiedevo se qualcuno poteva aiutarmi con questi esercizi: 1] Sia $R$ un anello commutativo con unità e siano $I$,$J$ $subset R$ due ideali coprimi, cioè $I+J=R$. Dimostra che per ogni $m>=1$ si ha $I^m+J^m=R$. Io ho pensato di farlo per induzione su $m$. Per $m=1$ si ha banalmente la tesi poichè $I$ e $J$ sono coprimi per hp. Quindi per ...

Salve a tutti, Non so se mi perdo in un bicchier d'acqua ma non riesco a semplificare una congruenza lineare di questo tipo: $ 5^41x -= 2 mod 3 $ non so proprio come muovermi anche applicando la definizione di congruenza. Potete aiutarmi? Grazie

Salve a tutti. Cerco un aiuto e/o suggerimento per risolvere il seguente problema: siano N sottogruppo caratteristico di H, il quale è a sua volta sottogruppo normale di G; dimostrare che N è normale in G. So che: ogni elemento di Inn(G) manda H in sè stesso; ogni elemento di Aut(H) manda N in sè stesso; se riuscissi a dimostrare che ogni elemento di Inn(G) manda N in sè stesso avrei vinto......se ci riuscissi..... Grazie.

Inanzitutto mi scuso se è la seconda discussione che apro in poco tempo, non apro topic per ogni stronzata, ma sono diversi giorni che faccio decine e decine di esercizi. I miei problemi nascono su questi tre esercizi: 8. Mostrare che un sottogruppo normale di un gruppo è unione di classi di coniugio. 9. Stabilire se la seguente affermazione ` vera o falsa: Siano G, G' gruppi finiti. Se G e G hanno lo stesso ordine, allora Aut(G) e Aut(G' ) hanno lo stesso ordine. 10. Determinare ...

Scrivo perchè mi trovo un attimino in difficoltà con alcuni esercizi. Ad esempio dato (Q, +) devo trovare il sottogruppo minimo contenente ${2/3,3/2}$ e dimostrare che esiste un numero razionale $m/n$ tale che H risulti essere il minimo sottogruppo contenente $m/n$ Ora dalla definizione ricordo che il sottogruppo che sto cercando è il sottogruppo generatore di ${2/3,3/2}$. Sebbene in caso di gruppi finiti mi aiuto con LaGrange, qui non saprei come ...

Salve a tutti, sto cercando di imparare questi teoremi di sylow, se qualcuno mi da un parere su questi esercizi che ho fatto riceverà in cambio tanta gratitudine 1) Sia $ G $ un gruppo e $ H $ un sottogruppo normale. Sia $ P $ un p-sylow di $ G $, mostrare che $ P \cap H $ è un p-sylow di $ H $. Sia $ K_H $ un p-sylow di $ H $, allora esiste un p-sylow $ K <= G $ tale che $ K_H <= K $ e ...

Sia \(\displaystyle \langle a \rangle \) un gruppo ciclico di ordine 5 e sia $ x $ l'automorfismo definito da $ a^x=a^2 $ Determinare l'ordine e i sottogruppi di \(\displaystyle G= \langle x \rangle \ltimes \langle a \rangle \) Allora... $ a \rightarrow a^2 \rightarrow a^4 \rightarrow a^3 \rightarrow a $ pertanto $ x $ ha periodo 4 e $ G $ ha ordine $ 4 xx 5=20 $ Poi ho trovato questi sottogruppi di ordine 2 ovvero \(\displaystyle \langle x^2a^n \rangle \) con $ 0 <= n < 5 $, poi ...

Sto rivendendo un pò la teoria relativa ai polinomi, e nella mia dispensa si parla di ideali principali come presupposto alla divisione euclidea tra polinomi. Verificando in diversi testi ho che la definizione di ideale è la seguente: Sia $(A,+,*)$ un anello, e sia $I$ un sottoanello di $A$. $I$ è un ideale se $AAa in A$, $EEi in I$ tale che $i*a in I$ e $a*i in I$. Nella mia dispensa invece trovo la seguente ...

ciao a tutti..non riesco a risolvere un esercizio, posto qui il testo "Si considerino gli ideali \( I=(26) \) e \( J=(12+5i) \) nell' anello \( A=Z\). Descrivere il reticolo degli ideali di \(A/I \) specificando quali fra essi sono primi, e calcola gli elementi nilpotenti. Stabilire se l' anello \(A/(I+J)\) è un dominio finito." Se al posto di \(Z\) ci fosse stato \(Z \) non avrei avuto problemi in quanto avrei dovuto prendere i divisori di \(26\) e sfruttare il teorema di corrispondenza tra ...

Come posso vedere (o far vedere) che queste due sommatorie sono "uguali"? $\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{j} a_{j-h} b_h c_{i-j}$ (1) $\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h} a_j$ (2) Come sono entrato in questo incubo? Semplicemente per "tentare" di dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra polinomi definito come $p,q\in\mathbb{K}[x]$ di grado minore o uguale ad n, $p\cdot q = \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \(a_j b_{i-j}\)x^i$ ho calcolato "separatamente" i due prodotti (pq)r e p(qr) e sono arrivato alla (1) e (2)...sono equivalenti?

Sia $ G $ un gruppo e $ H,K $ due sottogruppi normali tali che $ G=H xx K $ . Sia $ N $ un sottogruppo normale di $ G $ non contenuto in $ Z(G) $ e tale che $ N \cap H = {1} $ Provare che $ N \cap K \ne {1} $ Allora... io pensavo di dimostrare che l'ordine di $ N \cap K $ è diverso da 1 ... ma non ci riesco Dato che $ H $ e $ N $ sono normali e $ N \cap H = {1} $ allora $ |H xx N| $ divide ...

sia $F={0,1}$ il campo finito con 2 elementi e $f(x)=x^3+x+1$ un polinomio irriducibile su F. Devo costruire il campo finito con 8 elementi usando una radice $alpha$ di f(x). io direi questo, vi chiedo di corregermi nelle parti sbagliate: poichè f è irriducibile, allora esiste un campo E, estensione di F, in cui ci sono tutte le radici di f, e dunque anche $alpha$. Dunque f è il polinomio minimo di $alpha$ su F. per costruire questo campo costruisco cosi ...

Salve. Durante lo studio della parte iniziale della teoria dei gruppi ho trovato la seguente proposizione: Sia G un gruppo e sia X una parte non vuota di G. Allora il sottogruppo generato da X è l'insieme di tutti i prodotti xcon1....xconn,ove n è un numero naturae e ciascun fattore xconi appartiene ad X oppure è inverso di un elemento di X. Durante la dimostrazione di questa proposizione si considera un insieme L(stampato) che contiene tutti i prodotti xcon1....xconn: ciò che vorrei capire è ...

Salve, avrei bisogno di una mano. Sia A un anello non nullo, provare che un ideale I di A è radicale se e solo se è intersezione di ideali primi. Allora,se è intersezione di primi allora è radicale (ok), ma non riesco a fare il viceversa. Se sapessi che I ammette una decomposizione primaria allora sarebbe facile, ma in generale questo non è vero. Come si potrebbe procedere? Grazie

Dato un numero algebrico $\gamma$, chiamiamo "coniugati di $\gamma$" le radici del suo polinomio minimo. (È noto che dati due numeri algebrici $\alpha,\ \beta$ anche il loro prodotto $\alpha\beta$ è algebrico.) È vero che ogni coniugato di $\alpha\beta$ è il prodotto di un coniugato di $\alpha$ e un coniugato di $\beta$?

Allora mi sto dedicando infruttuosamente da un po' di tempo a questo problema di conteggio: Presi due insiemi $N$ $X$ quante sono le funzioni arricchite, cioè tutte quelle funzioni di cui l'insieme composto dalla retroimmagine di un elemento $x$ possiede un ordine per ogni elemento $x$$inX$, con $X$ non distinguibile ed $|N|=n$ e $|X|=x$? Un esempio è il seguente: $f,gN\toX$ se ...

Ragazzi ho la seguente relazione $S={1,2,3,4,5,6} e P={2,4}$ $X, Y in P(S)$ $X sigma Y <=> X uu Y sube Y uu X$ Qualcuno mi può dire se è di ordine questa relazione?

Ho la seguente permutazione $in S_6$ $sigma = (156)(24)(16)$ è equivalente a scriverla come : $sigma = ((1,2,3,4,5,6) ,(5,4,3,2,6,1))$ ??? Il mio dubbio sorge per il $(1 6)$ finale che quindi non è scritta in cicli disgiunti...se è sbagliata mi chiarite come andrebbe considerata? Altro dubbio: mi potete dare una delucidazione su come svolgere le "potenze di permutazioni"? esempio $sigma^8$ come si calcola? io so che si può calcolare come $sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma$ cioè come composizione di ...