Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sto rivendendo un pò la teoria relativa ai polinomi, e nella mia dispensa si parla di ideali principali come presupposto alla divisione euclidea tra polinomi.
Verificando in diversi testi ho che la definizione di ideale è la seguente:
Sia $(A,+,*)$ un anello, e sia $I$ un sottoanello di $A$. $I$ è un ideale se $AAa in A$, $EEi in I$ tale che $i*a in I$ e $a*i in I$.
Nella mia dispensa invece trovo la seguente ...
ciao a tutti..non riesco a risolvere un esercizio, posto qui il testo
"Si considerino gli ideali \( I=(26) \) e \( J=(12+5i) \) nell' anello \( A=Z\).
Descrivere il reticolo degli ideali di \(A/I \) specificando quali fra essi sono primi, e calcola gli elementi nilpotenti.
Stabilire se l' anello \(A/(I+J)\) è un dominio finito."
Se al posto di \(Z\) ci fosse stato \(Z \) non avrei avuto problemi in quanto avrei dovuto prendere i divisori di \(26\) e sfruttare il teorema di corrispondenza tra ...
Come posso vedere (o far vedere) che queste due sommatorie sono "uguali"?
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{j} a_{j-h} b_h c_{i-j}$ (1)
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h} a_j$ (2)
Come sono entrato in questo incubo? Semplicemente per "tentare" di dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra polinomi definito come
$p,q\in\mathbb{K}[x]$ di grado minore o uguale ad n, $p\cdot q = \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \(a_j b_{i-j}\)x^i$
ho calcolato "separatamente" i due prodotti (pq)r e p(qr) e sono arrivato alla (1) e (2)...sono equivalenti?
Sia $ G $ un gruppo e $ H,K $ due sottogruppi normali tali che $ G=H xx K $ . Sia $ N $ un sottogruppo normale di $ G $ non contenuto in $ Z(G) $ e tale che $ N \cap H = {1} $ Provare che $ N \cap K \ne {1} $
Allora... io pensavo di dimostrare che l'ordine di $ N \cap K $ è diverso da 1 ... ma non ci riesco
Dato che $ H $ e $ N $ sono normali e $ N \cap H = {1} $ allora $ |H xx N| $ divide ...
sia $F={0,1}$ il campo finito con 2 elementi e $f(x)=x^3+x+1$ un polinomio irriducibile su F. Devo costruire il campo finito con 8 elementi usando una radice $alpha$ di f(x).
io direi questo, vi chiedo di corregermi nelle parti sbagliate:
poichè f è irriducibile, allora esiste un campo E, estensione di F, in cui ci sono tutte le radici di f, e dunque anche $alpha$. Dunque f è il polinomio minimo di $alpha$ su F. per costruire questo campo costruisco cosi ...
Salve. Durante lo studio della parte iniziale della teoria dei gruppi ho trovato la seguente proposizione: Sia G un gruppo e sia X una parte non vuota di G. Allora il sottogruppo generato da X è l'insieme di tutti i prodotti xcon1....xconn,ove n è un numero naturae e ciascun fattore xconi appartiene ad X oppure è inverso di un elemento di X. Durante la dimostrazione di questa proposizione si considera un insieme L(stampato) che contiene tutti i prodotti xcon1....xconn: ciò che vorrei capire è ...
Salve, avrei bisogno di una mano.
Sia A un anello non nullo, provare che un ideale I di A è radicale se e solo se è intersezione di ideali primi.
Allora,se è intersezione di primi allora è radicale (ok), ma non riesco a fare il viceversa. Se sapessi che I ammette una decomposizione primaria allora sarebbe facile, ma in generale questo non è vero. Come si potrebbe procedere? Grazie
Dato un numero algebrico $\gamma$, chiamiamo "coniugati di $\gamma$" le radici del suo polinomio minimo.
(È noto che dati due numeri algebrici $\alpha,\ \beta$ anche il loro prodotto $\alpha\beta$ è algebrico.)
È vero che ogni coniugato di $\alpha\beta$ è il prodotto di un coniugato di $\alpha$ e un coniugato di $\beta$?
Allora mi sto dedicando infruttuosamente da un po' di tempo a questo problema di conteggio:
Presi due insiemi $N$ $X$ quante sono le funzioni arricchite, cioè tutte quelle funzioni di cui l'insieme composto dalla retroimmagine di un elemento $x$ possiede un ordine per ogni elemento $x$$inX$, con $X$ non distinguibile ed $|N|=n$ e $|X|=x$?
Un esempio è il seguente: $f,gN\toX$ se ...
Ragazzi ho la seguente relazione
$S={1,2,3,4,5,6} e P={2,4}$
$X, Y in P(S)$
$X sigma Y <=> X uu Y sube Y uu X$
Qualcuno mi può dire se è di ordine questa relazione?
Ho la seguente permutazione $in S_6$
$sigma = (156)(24)(16)$
è equivalente a scriverla come :
$sigma = ((1,2,3,4,5,6) ,(5,4,3,2,6,1))$
???
Il mio dubbio sorge per il $(1 6)$ finale che quindi non è scritta in cicli disgiunti...se è sbagliata mi chiarite come andrebbe considerata?
Altro dubbio:
mi potete dare una delucidazione su come svolgere le "potenze di permutazioni"?
esempio $sigma^8$ come si calcola? io so che si può calcolare come $sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma$
cioè come composizione di ...
Sia $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo proprio massimale , supponiamo inoltre che esista un elemento $anotinH$ tale che $aHa^(-1)=H$, allora $H$ è normale in $G$??
Facevo il seguente ragionamento: $H$ massimale in $G$ significa credo che non esiste alcun sottogruppo proprio $K$ di $G$ tale che risulti $GsubKsubH$, se non sbaglio inoltre esiste un sottogruppo ...
Ciao a tutti ragazzi, questo è il mio primo post.
Arrivo al sodo, voglio fare l'esonero di Matematica Discreta per il corso di informatica. Il problema e che riesco ad usare il principio di induzione ne le relazioni di equivalenza sulla divisione!
Per l'induzione ci riesco soltanto su quei esercizi con la sommatoria e/o uguaglianza ma non ci riesco con quelli con minore/maggiore oppure con le divisioni! Mentre per la relazione di equivalenza oltre a x|(p-q) non riesco a determinare se è di ...
Salve a tutti, spero di non aver sbagliato sezione.
La questione che vi pongo è legata, in generale, alle serie del tipo $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i}{b_i} = r \in RR\\QQ$ con $a_i, b_i \in NN, AA i \in NN$.
Ho preso l'esempio di $\zeta(2)$ per semplicità ($\zeta(*)$ è la funzione zeta di Riemann per intenderci).
Sappiamo più o meno tutti che $\zeta(2) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \in RR\\QQ$
Però è anche vero che $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} = S_n = \frac{a_n}{b_n}$ dove:
$b_n = \lcm (1^2,2^2,...,n^2) \in NN, AA n \in NN$
$a_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lcm(1^2,...,n^2)}{i^2} = \sum_{i=1}^{n} q_i \in NN, AA n \in NN$ (essendo $i^2 | \lcm(1^2,...,n^2), AA i \in 1 -: n$, mentre $q_i$ è il quoziente che esce ...
Un saluto a tutti,mi chiamo Stefano; Per prima cosa complimenti per il sito.In secondo luogo avrei una domanda da rivolgere a chi è più esperto di me; Premetto che non ho mai studiato Teoria dei Numeri ma,studiando Probabilità, mi è capitato di imbattermi in una questione per me non banale :dato un numero naturale c , in quanti e quali modi posso esprimere c come prodotto fra due numeri naturali ? Per esempio 4 lo posso vedere come il prodotto fra 1 e 4, fra 4 e 1 e fra 2 e 2. Grazie in ...
Buonasera a tutti!
Ho difficoltà nello svolgere i seguenti punti di questo esercizio, qualcuno può aiutarmi gentilmente?
Sia $f=(x^2+ bar 2)(x^2+ bar 4)(x^2+7 bar a) $ $ \epsilon$ $ZZ_13[x]$. Trovare,se possibile:
i) un $bar a$ tale che $[3]_13$ non sia una radice di f
ii) un $bar a$ tale che f sia irriducibile in $ZZ_13$
Per quanto riguarda il punto i) so che in realtà $bar 3$ è una radice di f in quanto è radice di $x^2 + bar 4$, ma per trovare la ...
Salve a tutti, non riesco a capire una cosa riguardo il polinomio di Artin:
Sia $F$ un campo di caratteristica $p>0$ e si consideri il polinomio $f(x)=x^p-x-a$ con $a\in F$. Ora sui libri e in rete leggo che se $\alpha$ e' una radice di $f(x)$ in una certa estensione $K$, allora lo sono anche $\alpha+1$, $\alpha+2$ ... $\alpha+p-1$, cosi' mi sono messo a fare i conti per verificare. Sia ...
Ragazzi mi serve assolutamente una mano e una buona spiegazione per la risoluzione di questo esercizio:
per ogni intero a, sia Fa = ( x^2 + 2 )( x^2 + 4 )( x^2 + 7a ) appartenente Z13[x].
Trovare se possibile:
1. un a appartenente Z tale che [3]13 non sia una radice di Fa;
2. un a appartenente Z tale che Fa sia irriducibile in Z13[x].
Mi scuso per non aver usato la simbologia di questo sito ma non so come fare per usarla.
Aiutatemi al piu presto domani ho un esame importantissimo e non ...
Sia $G$ un gruppo non abeliano di ordine $pq$, con $p$,$q$, primi distinti e $p<q$, sappiamo che tale gruppo possiede esattamente $q$ sottogruppi di ordine $p$, ciclici, ed un unico,pertanto normale in $G$ sottogruppo di ordine $q$,anch'esso ciclico perchè di ordine primo; indichiamo con $H=<h>$, uno qualsiasi dei sottogruppi di ordine $p$,
e con ...
A pagina 13 di questa dispensa http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf ci sono delle affermazioni che mi hanno turbato:
Se io ho una famiglia di insiemi vuota [tex]\emptyset[/tex], dice che l'intersezione della famiglia [tex]\bigcap \emptyset[/tex] non esiste, mentre l'unione [tex]\bigcup \emptyset[/tex] è l'insieme vuoto.
Chi riesce a spiegarmi in modo convincente il perché?
Ecco come la penso io:
Intersezione: L'intersezione di una famiglia di insiemi è un insieme che racchiude tutti gli elementi comuni a ...
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