Teoria di Sylow nel caso di gruppi infiniti ....

[menale1]

Ragazzi c'è un quesito che vorrei girarvi : sul mio testo di algebra vien detto che nel caso di insieme di ordine infinito , l'esistenza dei p-sottogruppi di Sylow è garantita del Lemma di Zorn ( equivalente dell'Assioma della scelta ) . Ora , il Lemma di Zorn sostiene che in un insieme induttivo c'è un qualche elemento massimale ; pertanto sarei portato , naturalmente , a concludere che quello dei p-sottogruppi del G di partenza sia induttivo , ma non riesco a capirne la motivazione intrinseca . Attendo vostre delucidazioni !

[Studente Anonimo]

L'unione di una catena di p-sottogruppi è ancora un p-sottogruppo.

Ma la nozione di [tex]p[/tex]-sottogruppo massimale non è molto buona. Invece si può generalizzare bellamente la teoria di Sylow ai gruppi profiniti.

Dato un gruppo profinito [tex]G[/tex] (cioè un gruppo topologico di Hausdorff, compatto e totalmente disconnesso), usando queste notazioni ha senso definire l'indice di un sottogruppo chiuso [tex]H[/tex] di [tex]G[/tex] come il minimo comune multiplo degli interi positivi [tex]|G:NH|[/tex] al variare di [tex]N[/tex] nella famiglia dei sottogruppi normali aperti di [tex]G[/tex] (questo ha senso: ricordo che se [tex]N[/tex] è un sottogruppo normale aperto di [tex]G[/tex] allora [tex]G/N[/tex] è un gruppo finito: ciò segue dalla compattezza, dato che [tex]G/N[/tex] è un ricoprimento di [tex]G[/tex] che consiste di aperti a due a due disgiunti). E' quindi naturale definire l'ordine di [tex]G[/tex] come [tex]|G|:=|G:\{1\}|[/tex] (il sottogruppo [tex]\{1\}[/tex] è chiuso perché [tex]G[/tex] è di Hausdorff). Definiamo un "[tex]p[/tex]-sottogruppo di Sylow" di [tex]G[/tex] come un sottogruppo chiuso [tex]P[/tex] di [tex]G[/tex] di ordine una potenza di un primo ([tex]p^n[/tex] per qualche [tex]n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}[/tex]) e tale che [tex]|P|[/tex] e [tex]|G:P|[/tex] sono coprimi (cioè il loro massimo comun divisore è 1). Allora vale il seguente:

Teorema di Sylow per gruppi profiniti.
Siano [tex]G[/tex] un gruppo profinito, [tex]p[/tex] un numero primo. Allora:
- [tex]G[/tex] ha [tex]p[/tex]-sottogruppi di Sylow.
- Ogni sottogruppo chiuso di [tex]G[/tex] di ordine [tex]p^n[/tex] con [tex]n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}[/tex] è contenuto in un [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex].
- Ogni due [tex]p[/tex]-sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex] sono coniugati.

[menale1]

Risposta luminante