Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Si consideri l’anello quoziente $ F = K[x]$ /$ (f)$ per $K=ZZ$/$3ZZ$ e $f = x^2 + 1 in K[x]$
(a) Si elenchino gli elementi di $F$
(b) Si calcolino i prodotti $ (bar (1) +bar (x))*(bar (2)+bar (x)) $ e $ (bar (1)+bar (x))^2 $
(c) Si determini l’elemento inverso di $ (bar(1)+ bar(2)bar(x)) $
Io non so proprio da dove iniziare . Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Ciao a tutti!!.....non riesco a risolvere un paio di quesiti,qualcuno può darmi una mano?:
(1) devo dire se è vero o falso che $ ZZ$/$2ZZ$ contenuto in $ZZ$/$2ZZ[x]$/$(x^4+x+1)$ è un'estensione di campi di grado 4
(2) è vero o falso che dati $ n \geq 2 $ numeri primi distinti p1,...,pn la radice n-esima del prodotto $ root(n)(p1*...*pn) $ è sempre irrazionale?
Per la prima domanda devo dimostrare che $ZZ$/ ...
ciao riposto la mia domanda di qualche giorno fa:
"Ciao ragazzi ho bisogno di una mano su questo (per me difficilissimo ) esercizio
siano $K sub F$ un'estensione finita e $sigma:K->K'$ un omomorfismo di campi:
a) dato un elemento algebrico $alpha in F$ si usino l'omomorfismo $sigma~:K[x]->K[x]', sum_(i = 0)^(n) ai x^i -> sum_(i = 0)^(n)sigma(ai) x^i $ e il teorema fondamentale dell'omomorfismo per dimostrare che esistono un'estensione finita $K' sub F1$ e un omomorfismo $tau1:K(alpha) ->F1$, che estende $alpha$, ...
Ho la congruenza [tex]y+iv\equiv x+ju \bmod{uv}[/tex] dove [tex]u[/tex] e [tex]v[/tex] sono coprimi. In ciò che sto leggendo è dato per scontato che, fissati [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], esista una coppia [tex]i[/tex], [tex]j[/tex] che soddisfi la congruenza. La cosa non mi è sembrata così immediata così ho cercato di dimostrarlo. Ovviamente mi sono bloccato quasi subito (non ho mai trattato problemi di questo tipo).
Sapreste darmi qualche consiglio?
Ho un dubbio sul gruppo Z3={0,1,2}. Come posso rappresentare -2 in Z3?
Non ho capito come si fanno questi 2 esercizi.. se mi potete spiegare in modo chiaro come si svolgono ve ne sarò grato!!! grazie in anticipo!!
1)Date le permutazioni
f =1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 1 7 2
g =1 2 3 4 5 6 7
2 1 4 7 5 6 3
scrivere f, g, g o f come prodotto di cicli disgiunti.
2) Sia "r" la relazione sull'insieme Z dei numeri interi definita da:
per ogni a, b appertenti a Z; a r b se a^2-b^2 (a e b elevato a 2) è divisibile per 4.
Si provi che r è un'equivalenza su Z, ...
Ciao a tutti.....
Allora non riesco a capire come dimostrare questo esercizio:
Sia G un gruppo. Dimostrare che G è abeliano se e soltanto se l'applicazione α: $ x in G -> (x)^(-1) in G $ è un automorfismo di G.
Sono andata nel pallone se qualcuno potrebbe darmi un aiutino....
grazie......
Per ogni $n in NN$ si ponga $nZZ := {nx : x in ZZ}<br />
dati due interi positivi $n_1, n_2$ verificare che $n_1ZZ nn n_2ZZ = mZZ$ dove $m=mcm(n_1,n_2)$<br />
<br />
Io avrei risolto in questo modo:<br />
<br />
$(AAn in NN)(n_1ZZ nn n_2ZZ = mZZ) EEy,z in ZZ : yn_1=x=zn_2 x=m x in mZZ$
E' corretto?
Ciao ragazzi,
ho bisogno di un aiuto per questo esercizio:
Stabilire, motivando la risposta, se il seguente insieme H è un ideale di M2 (ZZ).
H= $ (( ( x , 0 ),( 1 , y ) )| x in ZZ , y in ZZ ) $ .
Teoricamente è chiara la definizione di un ideale ma non riesco ad applicarla.
grazie.....
Ho trovato in un esercizio questa notazione che non riesco a capire:
$aZZ sub bZZ <=> b|a$
il $b|a$ come lo devo intendere?? Non e' la divisione, vero?
Scusate l'ignoranza
Determinare una permutazione s che appartiene ad S7 e che genera un sottogruppo ciclico di ordine 20 e calcolare s^7.
Help!
Ho come esercizio di dover dimostrare la seguente uguaglianza:
$A nn B=B nn A$
sembra una cosa scontatissima ma come lo dimostro in maniera NON intuitiva?
Nel 1874 Cantor dimostrò la numerabilità dei numeri algebrici e subito dopo il seguente teorema: "Per ogni successione (numerabile) di n. algebrici , ogni intervallo della successione contiene un numero reale che non appartiene alla successione". (Dimostrando così l'esistenza dei trascendenti). Dimostrazione: Sia S una successione di n. algebrici e I un suo intervallo; siano A
Sono andato avanti nella risoluzione dei Problemi del buon Herstein.. Volevo proporvi una mia risoluzione per quanto riguarda il seguente problema:
Premessa: è la prima volta che uso le formule quindi oltre alla curiosità di sentire il vostro parere in merito alla dimostrazione, è anche un'occasione per allenarmi ad implementarle).
provare che se G è un gruppo PRIVO di sottogruppi NON banali allora G è finito e $|G| = p$ con p primo.
mia DIM:
Dapprima si nota che G risulta ...
DUE domande per tutti i futuri gauss sintonizzati:
1 - E' per caso, in qualche maniera, NOTO che gli esercizi dell'Herstein siano tosti?
Sarebbe una piccola consolazione dato che al secondo problema del paragrafo sui SottoGruppi sono già in altomare..
2 - Il problema:
HP:
1. G gruppo (Nessuna ipotesi di finitezza)
2. Interseco tutti i sottogruppi non banali. A:= Questa intersezione.
A è non banale
TH:
Ogni elemento di G è di ordine finito.
- - -
Devo ...
Dati $x=[(a,b)]$ e $y=[(c,d)]$ , in $ZZ$ la somma è $[(a+c,b+d)]$ e il prodotto $[(ac+bd,ad+bc)]$ .
1) Come si fanno la somma e il prodotto nell'insieme $ZZ$ (interi relativi) senza cercare di "ricordare a memoria" questo procedimento, e quindi usando la logica?
2) Nell'insieme dei numeri relativi $ZZ$, se ho un numero $x=[(a,b)]$ , a cosa devono corrispondere $a$ e $b$ se ad esempio ...
Sia $G$ gruppo abeliano di ordine $pq$e siano ,$p$,$q$ primi con $p!=q$, cioè distinti.
Allora risulta $(ab)^(pq)=e$ con $pq$ ordine di $ab$, e pertanto $G=<ab>$ cioè $G$ ciclico.
Procedo nel seguente modo per la dimostrazione:
intanto per il torema di caushy posso asserire che esiste almeno un elemento $a$ di ordine $p$ ed almeno un elemento ...
Salve a tutti
In una dispensa ho trovato il seguente esercizio:
sia $G$ un gruppo con $a,b in G$, provare che esiste uno ed un solo $x in G$ tale che $xa=b$
La soluzione proposta nella dispensa è la seguente:
$x=ba^-1$
$x'a=xa=b$
$a^-1*x'a=ba^-1=x$
Io, invece, penserei di procedere così:
Suppongo che esistano due elementi $x_1,x_2$ diversi fra loro, tali che $x_1*a=b$ $x_2*a=b$
eguaglio: ...
ciao a tutti!!! devo dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in $QQ[x]$:
(a) $x^3+2x-1$
(b) $x^3-9$
(c) $x^7+3x^4+12x^3+6$
(d) $x^4-3x^3-x^2+7x+21$ (per riduzione)
(e) $x^4+4x^3+6x^2+8x+7$ (per sostituzione)
Io ho pensato di procedere in questo modo:
(a) il polinomio non ha zeri quindi e' irriducibile in $ZZ[x]$ e qiundi anche in $QQ[x]$
(b) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=9. p non divide 1,p divide 9 e p^2 non divide ...
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