Relazione di equivalenza
Ciao a tutti,
sto avendo un problema nella risoluzione di un esercizio che sembra semplice, la traccia dice
Si consideri la relazione così definita:
$AA a,b in ZZ:aRb harr 5|(a+4b)$
Stabilire se $R$ è una relazione di equivalenza.
per essere di equivalenza devo dimostrare che è
RIFLESSIVA: $aRa AA a in ZZ$ segue che $5|(a+4a)$ ed è facile vedere che $5|5a$ quindi la relazione è riflessiva
SIMMETRICA: $aRb AA a,b in ZZ$ allora anche $bRa$ quindi se $5|(a+4b)$ allora devo verificare che $5|(b+4a)$ ma qui già c'è il primo problema perchè non so come fare
TRANSITIVA: $aRb$ e $bRc AA a,b,c in ZZ$ allora $aRc$ ma anche qui purtroppo non so come dimostrarlo
qualcuno mi da qualche idea???
sto avendo un problema nella risoluzione di un esercizio che sembra semplice, la traccia dice
Si consideri la relazione così definita:
$AA a,b in ZZ:aRb harr 5|(a+4b)$
Stabilire se $R$ è una relazione di equivalenza.
per essere di equivalenza devo dimostrare che è
RIFLESSIVA: $aRa AA a in ZZ$ segue che $5|(a+4a)$ ed è facile vedere che $5|5a$ quindi la relazione è riflessiva
SIMMETRICA: $aRb AA a,b in ZZ$ allora anche $bRa$ quindi se $5|(a+4b)$ allora devo verificare che $5|(b+4a)$ ma qui già c'è il primo problema perchè non so come fare
TRANSITIVA: $aRb$ e $bRc AA a,b,c in ZZ$ allora $aRc$ ma anche qui purtroppo non so come dimostrarlo
qualcuno mi da qualche idea???
Risposte
Se [tex]5\mid a+4b[/tex], allora [tex]\exists k \in \mathbb{Z} \text{t.c.} 5k=a+4b[/tex], sicché [tex]a=\ldots[/tex]. Quindi [tex]b+4a=\ldots[/tex], da cui la conclusione.
Con un metodo simile si tratta l'eventuale transitività.
Con un metodo simile si tratta l'eventuale transitività.
scusami wizard, ma non riesco a capire bene, da quello che scrivi ottengo che $a=-4b+5k$ ma poi come procedo per metterlo in relazione con $b+4a$ ?
perdonami ma non riesco a capirlo anche se è semplice
perdonami ma non riesco a capirlo anche se è semplice
[tex]b+4a=b+4(5k-4b)=\ldots[/tex]
ok ho capito questo passaggio, ma poi? posso già concludere che $5|b+4(5k-4b)$ ? basta questo per dimostrare la simmetria?
scusami se scrivo banalità ma non ci arrivo
scusami se scrivo banalità ma non ci arrivo
[tex]b+4(5k-4b)=b+20k-16b=20k-15b=5(4k-3b)[/tex] quindi sussiste la divisibilità per [tex]5[/tex]
E' utile osservare che $5|(a+4b)$ se solo se $a+4b\equiv 0 mod 5$ se e solo se
$a\equiv b mod 5$. La relazione e' quindi la solita relazione di equivalenza data dalla congruenza modulo $5$.
$a\equiv b mod 5$. La relazione e' quindi la solita relazione di equivalenza data dalla congruenza modulo $5$.
grazie tante è tutto molto piu chiaro ora 
quindi era sufficiente continuare la moltiplicazione, grazie ancora
quindi era sufficiente continuare la moltiplicazione, grazie ancora
Duombo per la transitività prova a vederla in questo modo:
sai che se [tex]aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc[/tex], ovvero:
[tex]5|(a+4b) \Rightarrow \exists k \in Z[/tex] tale che [tex]a+4b=5k[/tex] e [tex]5|(b+4c) \Rightarrow \exists t \in Z[/tex] tale che [tex]b+4c=5t[/tex]
Se sommi membro a membro ottieni:
[tex]a+4b=5k[/tex]
[tex]b+4c=5t[/tex]
[tex]a+b+4b+4c=5k+5t[/tex] da cui [tex]a+4c=5(k+t-b)[/tex] ovvero [tex]a+4c[/tex] è un multiplo di [tex]5[/tex] se e solo se [tex]aRc[/tex].
sai che se [tex]aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc[/tex], ovvero:
[tex]5|(a+4b) \Rightarrow \exists k \in Z[/tex] tale che [tex]a+4b=5k[/tex] e [tex]5|(b+4c) \Rightarrow \exists t \in Z[/tex] tale che [tex]b+4c=5t[/tex]
Se sommi membro a membro ottieni:
[tex]a+4b=5k[/tex]
[tex]b+4c=5t[/tex]
[tex]a+b+4b+4c=5k+5t[/tex] da cui [tex]a+4c=5(k+t-b)[/tex] ovvero [tex]a+4c[/tex] è un multiplo di [tex]5[/tex] se e solo se [tex]aRc[/tex].
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