Esercizio campo di spezzamento

[dolce590]

Trovare il campo di spezzamento E di
(x^3+x^2+2)(x^3+x+ 2)
su Z5 e determinare [E : Z5].

Ho pensato di usare l'automorfismo di Frobenious, ma mi chiedo:
devo ampliare con le radici di entrambi i polinomi o mi basta la radice di uno dei due?

[mistake89]

Se il campo è uno $ZZ_p$ hai un risultato ancora più forte: il campo di spezzamento di un polinomio è un'estensione semplice.

Quindi ti basterà prendere una radice $alpha$ di quel polinomio per ottenerle tutte - tramite frobenious ad esempio-.

[Stickelberger]

In realta' nessuna radice $\alpha$ del polinomio genera il
campo di spezzamento $E$.

In generale, per un primo $p$, vale il seguente:
il campo di spezzamento di un polinomio irriducibile in $ZZ_p[X]$ di
grado $d$, ha grado $d$ su $ZZ_p$. Dentro una chiusura algebrica di
$ZZ_p$ esiste per ogni $d$ un unico campo $F_d$ di grado $d$ su $ZZ_p$.
Il composito di $F_d$ e $F_{d'}$ e' $F_e$ dove $e=mcm(d,d')$.

Quindi, per risolvere l'esercizio basta fattorizzare il polinomio
$(x^3+x^2+2)(x^3+x+ 2) $ in $ZZ_5[X]$ e determinare
i gradi dei fattori irriducibili. Il polinomio $x^3 + x^2 +2$ non ha zeri in
$\ZZ_5$ ed e' quindi irriducibile. Invece, si ha che $x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)$
e il fattore $x^2-x+2$ e' irriducibile. I gradi sono quindi 1,2,3 con mcm = 6.
Si ha quindi che $[E:ZZ_5]=6$.

Chi e' il campo $E$? Per la teoria sopra, $E$ e' il campo $F_6$.
Per unicita' di $F_6$, si ha che $E=ZZ_5(a)$ dove $a$ e' radice di un
qualsiasi polinomio irriducibile di $ZZ_5[X]$ di grado 6. Per esempio
il 9o polinomio ciclotomico $x^6+x^3+1$, il quale e' irriducibile in $\ZZ_5[X]$
perché' $5$ ha ordine $6$ modulo $9$.