Induzione con esponente pt.2

[Marioo2]

Ciao a tutti,

Ho molti problemi a risolvere dele dimostrazioni per induzione con esponente. Ecco un esempio.

Dimostrare che per ogni $n>= 2$ si ha $ 2^(n+1) < 3^n$. Tralasciando il caso base.
- $2^(n+1) < 3^n$
- $2^(n+2) < 3^(n+1)$
- $2^n * 4 < 3^n * 3$

Ora non so come proseguire.

Dimostrare che per ogni $n >= 2$ si ha $2^n + 3^n < 4^n$. Tralasciando il caso base.
- $2^(n+1) + 3^(n + 1) < 4^(n+1)$
- $2^n * 2 + 3^n * 3 < 2^2n *2^2$
- $(2^n - 2^(2n)) * 6 + 3^n * 3 < 0$

Ho molti dubbi sul fatto che l'ultimo passaggio sia giusto.

Spero che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.

Grazie.

[Marioo2]

up

[G.D.5]

\(2^{n+2}=2^{(n+1)+1}=2\cdot2^{n+1}<2\cdot3^{n}<3\cdot3^{n}=3^{n+1}\)
\(2^{n+1}+3^{n+1}=2\cdot2^{n}+3\cdot3^{n}=(4-2)2^{n}+(4-3)3^{n}=4(2^{n}+3^{n})-2\cdot2^{n}-3\cdot3^{n}<4(2^{n}+3^{n})<4\cdot4^{n}=4^{n+1}\)