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Ogni funzione continua su un compatto $KsubeRR^n$ è $L^n$-sommabile.
Allora intanto mostro che gli aperti di $RR^n$ sono misurabili. Se prendo la topologia euclidea $(RR^n,\tau_e)$ questa coincide con la topologia prodotto $(RR^pxxRR^(n-p), \tau_(pro d.))$ con $1<=p<=n-1$. Perciò ogni aperto di $RR^n$ si può scrivere come unione di rettangoli di $RR^pxxRR^(n-p)$, ma siccome quest'ultimi sono misurabili allora ogni aperto di $ RR^n $ è misurabile. Quindi ...
Se $\int_Afd\mu$ è finito allora ${x inA|f(x)=+infty}$ ha $\mu$-misura nulla.
Io ho fatto così, ma ditemi se ho sbagliato:
Abbiamo che $\int_Afd\mu=su p{s(f,\sigma)|\sigmain\Omega(A)}$, chiamati $B={x inA|f(x)!=+infty}$ e $C={x inA|f(x)=+infty}$ consideriamo la scomposizione (alla Lebesgue) di $A$, $\sigma={B}uu{C}$, abbiamo che $s(f,\sigma)=i nf_{x inB}f(x)*\mu(B)+i nf_{x inC}f(x)*\mu(C)$, ma abbiamo che $i nf_{x inC}f(x)=+\infty$, se per assurdo $\mu(C)!=0$ allora $s(f,\sigma)=+\infty$ da cui $\int_Afd\mu=+\infty$, assurdo poichè era finito. Qunidi ...
Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo ...
Siano $\gamma:[a,b]->RR^n$ e $\mu:[\alpha,\beta]->RR^n$ due cammini parametrizzati di classe $C^1$ e $C^1$-equivalenti, allora $l(\gamma)=l(\mu)$.
Io ho fatto così:
sia $\varphi:[a,b]->[\alpha,\beta]$ il $C^1$-diffeomorfismo tale che $\gamma(t)=\mu(\varphi(t))$ $AAtin[a,b]$.
Abbiamo che $l(\gamma)=\int_a^b||\dot \gamma(t)|| dt=\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt$. Ora siccome $\varphi(t)$ è un $C^1$-diffeomorfismo allora o è strettamente crescente o è strettamente decrescente per cui: $\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt={(\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t) dt ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t)dt,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}$
In entrambi i casi applico ...
Salve a tutti. Ho avuto qualche problema con questo esercizio:
Data la ODE \( \dot {\bf{x}} = A\bf{x}, \bf{x} \in \mathcal{R}^5, A_{ij} = 1 -3 \delta_{ij} \)
calcolare \( \bf{x}(t)\) dato \( \bf{x}(0)\) e determinare la condizione su \( \bf{x}(0)\) tale per cui valga $lim_{t \to \infty} x(t) = 0$
Son partito così, come nello scorso messaggio, notando che la matrice può esser riscritta come segue:
$A = 5P_v- 3Id_5$ ove $P_v$ è il proiettore lungo il vettore unitario $v = ((1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5))$. Adesso ...
Ciao ragazzi , sto studiando un'esempio di funzione che ammette primitiva ma non integrabile , ed è la seguente:
$ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $
Ma non viene specificato il perchè , qualcuno può spiegarmi?
Ciao a tutti .
Mi sto esercitando su vecchi temi d'esame di Analisi 2 e c'è un esercizio sul lavoro di un campo lungo una curva che non riesco a risolvere.
Dato un campo F = (x-y-2z, 2x+3y-z, z+2y+ z), devo calcolare il lavoro lunga la curva γ: $ { ( x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 ),( x-y-z=1 ):} $
In generale dato un campo e una curva parametrizzata sono in grado di calcolare il lavoro, ma in questo caso non capisco come parametrizzare la curva. (La soluzione è L=2$ sqrt(3) $π )
Grazie.
Buonasera,
sto studiando algebra lineare e mi sono incastrato su un dubbio riguardante le forme bilineari simmetriche indefinite.
Ho letto e studiato il metodo per definire il segno delle matrici associate tramite autovalori:
- semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi
- semidefinita positiva ma non definita positiva se e solo se ha autovalori non negativi
- definita positiva se e solo se ha autovalori tutti positivi
(simmetrico il caso negativo)
- indefinita se ha ...
In un cavo elettrico di lunghezza $L$ (in cui scorre corrente elettrica $I$) è immerso in un campo magnetico uniforme entrante nel piano del foglio ed è sottoposto a una forza magnetica verso l'alto, determinare in che verso scorre la corrente.
Allora in teoria dalla formula $\vecF=I\vecLxx\vecB$ se usiamo la regola della mano destra troviamo che la direzione di $\vecL$ è da sinistra verso destra, quind in teoria il verso della corrente è lo stesso di ...
In un recipiente rigido, chiuso ermeticamente, è contenuto un gas ad una certa temperatura. Se la temperatura dimezza cosa si può osservare?
A. La pressione del gas dimezza
B. La pressione del gas rimane costante
C. La pressione del gas raddoppia
D. Il volume del gas raddoppia
E. Il volume del gas dimezza
La risposta data come corretta è la A. La temperatura non è anche direttamente proporzionale al volume? Per quale motivo la risposta non potrebbe anche essere E? Che io sappia, 'chiuso ...
Una palla viene lanciata dalla sommità di un altipiano, con velocità iniziale v0 formante un angolo di 30° rispetto al piano orizzontale, da un punto a distanza D = 60 m dal bordo di una rupe verticale alta h = 70 m. La palla sfiora il bordo del precipizio e lo supera, andando a colpire il suolo sottostante, che è orizzontale. Determinare:
1. il modulo della velocità iniziale della palla;
2. a quale distanza dal piede della rupe la palla colpisce il suolo.
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28 giu 2023, 16:03
Un cilindro di raggio R e massa m = 3 kg, sul quale è arrotolata una corda, poggia su due aste parallele orizzontali (scabre). Una forza F, di modulo pari a metà del peso del cilindro, è applicata all'estremo della corda che pende verso il basso, come in figura. L'asse del cilindro è perpendicolare alle aste; il suo centro di massa e la forza F giacciono nel piano verticale passante per il punto medio fra le aste.
Si osserva che il cilindro rotola senza strisciare.
Determinare:
1. ...
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28 giu 2023, 16:18
Una sfera omogenea di massa M e raggio R rotola, senza strisciare, su un piano inclinato di un angolo theta = 30° rispetto all'orizzontale. All'istante t = 0 la sfera, da ferma, viene lasciata libera di scendere lungo il piano inclinato. Ricordando che il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse passante per il centro vale I = (2MR^2)/5, calcolare:
1. l'accelerazione con cui si muove il CM della sfera;
2. la velocità del CM della sfera dopo 10 secondi dall'inizio del moto.
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28 giu 2023, 16:00
Un'asta omogenea, di sezione costante e massa M, può ruotare su un piano orizzontale, privo di attrito, attorno ad un asse fisso verticale passante per un suo estremo. Essa si trova inizialmente in quiete. Un corpo puntiforme di massa m = 1/9 M, che si muove con velocità v parallela al piano ed ortogonale all'asta, la colpisce nel suo punto di mezzo, rimbalzando con velocità v' = -v/3.
1. Ricavare l'espressione della velocità angolare acquisita dall'asta in seguito all'urto;
2. stabilire se ...
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28 giu 2023, 16:00
Un punto materiale è lasciato cadere dall'altezza h = 150 m, all'istante t = 0, con velocità iniziale nulla. Un secondo punto materiale è lanciato all'istante t = t0 = 2 s, dalla stessa posizione iniziale, con una velocità iniziale v0 = 30 m/s diretta verso il basso. Determinare:
1. l'altezza alla quale il secondo punto supera il primo;
2. le velocità dei due corpi in tale istante.
Ho provato ad eguagliare l’equazione del moto dei due corpi, ma essendo che partono dallo stesso punto risulta ...
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28 giu 2023, 15:59
Un corpo 1, inizialmente fermo, viene lasciato cadere dalla posizione iniziale P1(x01 , y01). Un secondo corpo viene lanciato con velocità iniziale v02 = (2i + 3j) m/s dall'origine O del sistema di riferimento. I due corpi si incontrano nel punto di massima altezza raggiunta dal corpo 2. Determinare le coordinate iniziali del punto P1 e l'istante di tempo t in cui i due corpi si incontrano.
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28 giu 2023, 16:08
Buongiorno a tutti, è un po' di giorni che sbatto la testa su questa equazione differenziale: $y'=e^y+y^2$ ma non riesco a venirne a capo. Ho provato a considerarla a variabili separabili ma viene infattibile. Inoltre non credo si possa usare il principio di sovrapposizione perché a destra dell'equazione non ho $f(x)$ e $g(x)$ ma $y(x)$. Qualcuno mi può dare un idea di come fare per favore? Grazie in anticipo
Mostrare che prese $f,g:[0,1]->RR$ con $f=X_V$ e $g=X_(QQ)$ si ha che $f$ non è misurabile mentre $g$ è misurabile (con $V$ l'insieme di Cantor-Vitali e $X_A={(1,if x inA),(0,if xnotinA):}$ )
Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.
Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che ...
Sia ${A_n}_{ninNN,n>=1}$ con $A_n$ in una $\sigma$-algebra $AAninNN$ e tali che $A_nsupeA_{n+1}$ e $\mu(A_1)<+infty$ allora $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=lim_(n->infty)\mu(A_n)$.
Ho provato a dimostrarlo così (vorrei sapere se va bene, grazie):
Poniamo $G_n=A_1\\A_n$ con $n>=1$, abbiamo che $nn_{n=1}^{+infty}A_n=A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)$, per cui $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=\mu(A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n))=\mu(A_1)-\mu(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)-\sum_{n=1}^{+infty} \mu(G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)+\sum_{n=1}^{+infty}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\sum_{n=1}^{k}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))-\mu(A_1)=lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))$
qui rinomino $n=k+1$ ( $n$ non ha la stessa valenza del $n$ di prima!) per cui diventa $nn_{n=1}^{+infty}A_n=lim_(n->infty)\mu(A_(n))$.
Sia $f:[a,b]->RR$ una funzione Riemann-integrabile, allora $graf(f)={(x,f(x))|x in[a,b]}$ ha $Lì2$-misura nulla.
Ho fatto così (ditemi se va bene, grazie):
Ci basta mostrare che $AA\epsilon>0$ esiste ${R_i}_{iinNN}$ ricoprimento lebesguiano di $graf(f)$ tale che $\sum_{i=0}^{+infty}L^2(R_i)<\epsilon$.
Per il criterio di Riemann abbiamo che $AAepsilon>0$ $EE\sigma_{\epsilon}in\Omega([a,b])$ tale che $S(f,\sigma_{\epsilon})-s(f,\sigma_{\epsilon})<\epsilon$. Sia $\sigma_{\epsilon}={a=x_0<...<x_n=b}$ abbiamo che $AAx in[x_j,x_(j+1)]$ con $jin{0,...,n}$ si ha che ...
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