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Un cilindro di raggio R e massa m = 3 kg, sul quale è arrotolata una corda, poggia su due aste parallele orizzontali (scabre). Una forza F, di modulo pari a metà del peso del cilindro, è applicata all'estremo della corda che pende verso il basso, come in figura. L'asse del cilindro è perpendicolare alle aste; il suo centro di massa e la forza F giacciono nel piano verticale passante per il punto medio fra le aste.
Si osserva che il cilindro rotola senza strisciare.
Determinare:
1. ...
2
28 giu 2023, 16:18
Una sfera omogenea di massa M e raggio R rotola, senza strisciare, su un piano inclinato di un angolo theta = 30° rispetto all'orizzontale. All'istante t = 0 la sfera, da ferma, viene lasciata libera di scendere lungo il piano inclinato. Ricordando che il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse passante per il centro vale I = (2MR^2)/5, calcolare:
1. l'accelerazione con cui si muove il CM della sfera;
2. la velocità del CM della sfera dopo 10 secondi dall'inizio del moto.
1
28 giu 2023, 16:00
Un'asta omogenea, di sezione costante e massa M, può ruotare su un piano orizzontale, privo di attrito, attorno ad un asse fisso verticale passante per un suo estremo. Essa si trova inizialmente in quiete. Un corpo puntiforme di massa m = 1/9 M, che si muove con velocità v parallela al piano ed ortogonale all'asta, la colpisce nel suo punto di mezzo, rimbalzando con velocità v' = -v/3.
1. Ricavare l'espressione della velocità angolare acquisita dall'asta in seguito all'urto;
2. stabilire se ...
1
28 giu 2023, 16:00
Un punto materiale è lasciato cadere dall'altezza h = 150 m, all'istante t = 0, con velocità iniziale nulla. Un secondo punto materiale è lanciato all'istante t = t0 = 2 s, dalla stessa posizione iniziale, con una velocità iniziale v0 = 30 m/s diretta verso il basso. Determinare:
1. l'altezza alla quale il secondo punto supera il primo;
2. le velocità dei due corpi in tale istante.
Ho provato ad eguagliare l’equazione del moto dei due corpi, ma essendo che partono dallo stesso punto risulta ...
1
28 giu 2023, 15:59
Un corpo 1, inizialmente fermo, viene lasciato cadere dalla posizione iniziale P1(x01 , y01). Un secondo corpo viene lanciato con velocità iniziale v02 = (2i + 3j) m/s dall'origine O del sistema di riferimento. I due corpi si incontrano nel punto di massima altezza raggiunta dal corpo 2. Determinare le coordinate iniziali del punto P1 e l'istante di tempo t in cui i due corpi si incontrano.
1
28 giu 2023, 16:08
Buongiorno a tutti, è un po' di giorni che sbatto la testa su questa equazione differenziale: $y'=e^y+y^2$ ma non riesco a venirne a capo. Ho provato a considerarla a variabili separabili ma viene infattibile. Inoltre non credo si possa usare il principio di sovrapposizione perché a destra dell'equazione non ho $f(x)$ e $g(x)$ ma $y(x)$. Qualcuno mi può dare un idea di come fare per favore? Grazie in anticipo
Mostrare che prese $f,g:[0,1]->RR$ con $f=X_V$ e $g=X_(QQ)$ si ha che $f$ non è misurabile mentre $g$ è misurabile (con $V$ l'insieme di Cantor-Vitali e $X_A={(1,if x inA),(0,if xnotinA):}$ )
Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.
Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che ...
Sia ${A_n}_{ninNN,n>=1}$ con $A_n$ in una $\sigma$-algebra $AAninNN$ e tali che $A_nsupeA_{n+1}$ e $\mu(A_1)<+infty$ allora $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=lim_(n->infty)\mu(A_n)$.
Ho provato a dimostrarlo così (vorrei sapere se va bene, grazie):
Poniamo $G_n=A_1\\A_n$ con $n>=1$, abbiamo che $nn_{n=1}^{+infty}A_n=A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)$, per cui $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=\mu(A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n))=\mu(A_1)-\mu(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)-\sum_{n=1}^{+infty} \mu(G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)+\sum_{n=1}^{+infty}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\sum_{n=1}^{k}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))-\mu(A_1)=lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))$
qui rinomino $n=k+1$ ( $n$ non ha la stessa valenza del $n$ di prima!) per cui diventa $nn_{n=1}^{+infty}A_n=lim_(n->infty)\mu(A_(n))$.
Sia $f:[a,b]->RR$ una funzione Riemann-integrabile, allora $graf(f)={(x,f(x))|x in[a,b]}$ ha $Lì2$-misura nulla.
Ho fatto così (ditemi se va bene, grazie):
Ci basta mostrare che $AA\epsilon>0$ esiste ${R_i}_{iinNN}$ ricoprimento lebesguiano di $graf(f)$ tale che $\sum_{i=0}^{+infty}L^2(R_i)<\epsilon$.
Per il criterio di Riemann abbiamo che $AAepsilon>0$ $EE\sigma_{\epsilon}in\Omega([a,b])$ tale che $S(f,\sigma_{\epsilon})-s(f,\sigma_{\epsilon})<\epsilon$. Sia $\sigma_{\epsilon}={a=x_0<...<x_n=b}$ abbiamo che $AAx in[x_j,x_(j+1)]$ con $jin{0,...,n}$ si ha che ...
Ciao,
mi potreste consigliare delle dispense fatte bene che spieghino in maniera semplice la logica di primo ordine?
Potreste inoltre consigliarmi degli esercizi, magari con la soluzione, per potermi esercitare?
Grazie
Una mongolfiera è costituita da un pallone di volume di 2000 $m^3$ pieno di aria calda di densità p pari a 1.1 $(kg)/m^3$. La massa complessiva della mongolfiera è di 300 kg. Calcola la forza risultante sulla mongolfiera quando è in volo e l'aria esterna ha densità 1.3 $(kg)/m^3$.
A. 3000 N
B. 1500 N
C. 1100 N
D. 1000 N
E. 1300 N
Il mio tentativo di risoluzione
Fa - Fp = F netta
$d*V*g - m*g$ = F netta
$g(d*V - m)$ = F netta
$10(1.3*2*10^3 - 3*10^2)$ = F netta
F ...
Ciao ragazzi , volevo sapere ,e avere una spiegazione/dimostrazione , del perchè la funzione:
$ f(x)=x^2,x in R $ , è una funzione continua ma non uniformemente continua (se fosse stata in un intervallo chiuso e limitato , lo sarebbe stata per il teorema di Heine-Cantor , ma in questo caso no).
Grazie in anticipo!!
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e sto avendo delle difficoltà nel risolvere il secondo quesito:
In un triangolo isoscele \( ABC \) il vertice \( C\) si muove perpendicolarmente alla base \( AB\) in modo che l'area del triangolo cresca ad una velocità di \( 4 \ cm^2/s \). La base \( AB \) è lunga \( 3 \ cm \) .
1. A quale velocità cresce l'altezza \( CH \)?
2. E il lato \( CB\)?
1.
Per risolvere la prima parte ho utilizzato le derivate sapendo ...
Buongiorno a tutti,
il teorema di Fubini, nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, afferma che se esiste l'integrale di una certa funzione in \(\displaystyle X\times Y \) (\(\displaystyle X \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle Y \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^m) \), allora esistono gli integrali iterati, prima su \(\displaystyle X \) e poi su \(\displaystyle Y \), o viceversa.
Mi chiedevo se questo teorema vale ancora quando gli integrali ...
Sia $F$ è un campo, $F[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in $F$, allora $E=(F[x])//(p(x))$ è un campo se e solo se $p(x)$ è un polinomio primo in $F[x]$, il campo $E$ sarà costituito dagli elementi $E= a_0+a_1x+ a_2x^2+....+a_(n-1)x^(n-1)$, mi chiedevo comunque preso un generico elemento, $a_0+a_1x+....+a_i^i$ ,quindi di grado $i$ $in$ $N$, il suo inverso sarà anche di grado $i$, ...
Si consideri un cubo di lato $L$ all’interno di un condensatore costituto da due piani infiniti paralleli, con densità di carica superficiale $\sigma$. Il cubo ha due delle sue facce parallele ai piani del condensatore. Quanto vale il flusso del campo elettrico generato dal condensatore attraverso la superficie del cubo ?
Ho trovato più modi per rispondere a questa domanda, la cui risposta è $0$:
1) Se applichiamo la legge di Gauss abbiamo che non ci sono ...
Ho dei dubbi su questa domanda:
Se non sbaglio la corrente di spostamento concatenata è definita all'interno del condensatore, quindi siccome $S_1$ si trova all'esterno allora direi che la sua corrente di spostamento concatenata $i_1=0$. Per quanto riguarda $S_2$ invece ho alcuni dubbi, intanto non ho capito dalla figura se $S_2$ è solo la parte rossa oppure è sia la parte rossa che blu, inoltre la parte di ...
Ho questo dubbio: quando retraggo per deformazione su un quoziente, l'importate è che se retraggo un punto $P1$ su un punto $P2$ ad esempio devo assicurarmi che ogni altro punto equivalente (secondo la relazione sul quoziente) a $P1$ sia retratto su un punto equivalente a $P2$ giusto? (stessa cosa per equivalenze omotopiche)?
Volevo sapere se avessi risposto correttamente alla domanda:
Il campo magnetico si genera all'interno del solenoide verso l'alto. Quindi siccome $S_3$ sta fuori dal solenoide , dove il campo magnetico è $0$ allora il flusso magnetico è $0$, per quanto riguarda $S_2$ essa è mezza immersa nel solenoide mentre $S_1$ lo è interamente, però se condiseriamo i vettori di superfice $\vec S_1$ e ...
https://imgur.com/JTT4Cm7
Nel link e presente il testo del problema con la relativa immagine
Il testo è il seguente :
Un solenoide lungo 1 m, di raggio r=1.5 cm avente n=300 spire, è percorso da una
corrente variabile nel tempo i(t)=kt, con k=2 10−2 A/s. Si determinino:
1) il modulo del campo magnetico all’interno del solenoide al tempo t=2 s;
2) il campo elettrico E in un punto P, dentro il solenoide, distante d=1 cm dal suo
asse.
[B=1.5 10−5 T, E=3.78 10−8 V/m]
Non riesco a risolvere la seconda ...
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