Funzione continua , non U.C.
Ciao ragazzi , volevo sapere ,e avere una spiegazione/dimostrazione , del perchè la funzione:
$ f(x)=x^2,x in R $ , è una funzione continua ma non uniformemente continua (se fosse stata in un intervallo chiuso e limitato , lo sarebbe stata per il teorema di Heine-Cantor , ma in questo caso no).
Grazie in anticipo!!
$ f(x)=x^2,x in R $ , è una funzione continua ma non uniformemente continua (se fosse stata in un intervallo chiuso e limitato , lo sarebbe stata per il teorema di Heine-Cantor , ma in questo caso no).
Grazie in anticipo!!
Risposte
Suggerimento: dato $\delta>0$ arbitrario, considera $x_{\delta}=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}$ e $y_{\delta}=\frac{1}{\delta}$.
Cosa devo fare con questi termini?
Lo hai detto tu che vuoi negare l'uniforme continuità, quindi che deve succedere?
deve succedere che : $ |x-y|>d $,ovvero: \( |f(x)-f(y)|>\varepsilon \)
No. Come per la limitatezza dell'altra discussione, non è quella la negazione corretta di uniforme continuità. Anzi, non vuol dire proprio nulla. Sii preciso.
Non è fondamentale (puoi lasciare $d$ e usare $d$ anziché $\delta$ nel mio suggerimento), ma se vuoi scrivere $\delta$ basta che metti tra due dollari quello che appare qui sotto nel codice:
Non è fondamentale (puoi lasciare $d$ e usare $d$ anziché $\delta$ nel mio suggerimento), ma se vuoi scrivere $\delta$ basta che metti tra due dollari quello che appare qui sotto nel codice:
\delta
Per quanto riguarda la negazione:
\( \exists \varepsilon >0:\forall \delta (\varepsilon)>0\Rightarrow |x-y|>\delta \Longleftrightarrow |f(x)-f(y)|>\varepsilon \)
\( \exists \varepsilon >0:\forall \delta (\varepsilon)>0\Rightarrow |x-y|>\delta \Longleftrightarrow |f(x)-f(y)|>\varepsilon \)
No, per quattro motivi:
(i) Nella negazione, $\delta$ non dipende da $\epsilon$; tale dipendenza c'è nella proposizione non negata. Questo perché la dipendenza di una variabile da un'altra si presenta quando si richiede l'esistenza di una variabile a seguito di altre quantificate universalmente (esempio, se dici: "Per ogni $u,v \in \mathbb{R}$ esiste $x$ tale che per ogni $t$ esiste $y$ tale che $P(u,v,t,x,y)$", con $P$ predicato generico, allora $x$ dipende da $u$ e $v$ e $y$ dipende da $t$).
(ii) $x$ e $y$ non sono stati quantificati e non è stato detto a che insieme appartengono.
(iii) Non si capisce perché compare un'implicazione dopo $\delta$.
(iv) La negazione di "implica" non è "se e solo se".
La negazione di "$P \implies Q$ è "$P$ e $\text{non} \ Q$", quindi la corretta negazione di "$f$ è uniformemente continua in $[0,+\infty)$" è:
$$\exists \varepsilon>0, \ \forall \delta>0, \exists x_\delta,y_\delta \in [0,+\infty), \ [(|x_\delta-y_\delta|<\delta) \wedge (|f(x_\delta)-f(y_\delta)| \ge \varepsilon)]$$
Detto in parole povere, devi esibire un certo numero positivo $\epsilon$ tale che, non importa come venga dato un altro numero positivo $\delta$, riesci ad esibire due numeri eventualmente dipendenti da questa scelta di $\delta$ (ossia, $x_\delta$ e $\y_\delta$) con la proprietà che il modulo della differenza di questi due numeri è minore del $\delta$ dato e il modulo della differenza tra $x_\delta^2$ e $y_\delta^2$ è più maggiore (o uguale) di quel numero esibito $\epsilon$.
Nella pratica, però, non si procede con questo ordine. Prima si considera un $\delta>0$ arbitrario, poi si cerca di trovare $x_\delta$ e $y_\delta$ tali che $|x_\delta-y_\delta|<\delta$ e si spera di riuscire a minorare la quantità $|f(x_\delta)-f(y_\delta)|$ per tali $x_\delta$ e $y_\delta$. Il valore per cui vale la minorazione viene esibito come $\epsilon$.
Assorbito per bene tutto questo, prova a vedere che succede col suggerimento che ti ho dato.
(i) Nella negazione, $\delta$ non dipende da $\epsilon$; tale dipendenza c'è nella proposizione non negata. Questo perché la dipendenza di una variabile da un'altra si presenta quando si richiede l'esistenza di una variabile a seguito di altre quantificate universalmente (esempio, se dici: "Per ogni $u,v \in \mathbb{R}$ esiste $x$ tale che per ogni $t$ esiste $y$ tale che $P(u,v,t,x,y)$", con $P$ predicato generico, allora $x$ dipende da $u$ e $v$ e $y$ dipende da $t$).
(ii) $x$ e $y$ non sono stati quantificati e non è stato detto a che insieme appartengono.
(iii) Non si capisce perché compare un'implicazione dopo $\delta$.
(iv) La negazione di "implica" non è "se e solo se".
La negazione di "$P \implies Q$ è "$P$ e $\text{non} \ Q$", quindi la corretta negazione di "$f$ è uniformemente continua in $[0,+\infty)$" è:
$$\exists \varepsilon>0, \ \forall \delta>0, \exists x_\delta,y_\delta \in [0,+\infty), \ [(|x_\delta-y_\delta|<\delta) \wedge (|f(x_\delta)-f(y_\delta)| \ge \varepsilon)]$$
Detto in parole povere, devi esibire un certo numero positivo $\epsilon$ tale che, non importa come venga dato un altro numero positivo $\delta$, riesci ad esibire due numeri eventualmente dipendenti da questa scelta di $\delta$ (ossia, $x_\delta$ e $\y_\delta$) con la proprietà che il modulo della differenza di questi due numeri è minore del $\delta$ dato e il modulo della differenza tra $x_\delta^2$ e $y_\delta^2$ è più maggiore (o uguale) di quel numero esibito $\epsilon$.
Nella pratica, però, non si procede con questo ordine. Prima si considera un $\delta>0$ arbitrario, poi si cerca di trovare $x_\delta$ e $y_\delta$ tali che $|x_\delta-y_\delta|<\delta$ e si spera di riuscire a minorare la quantità $|f(x_\delta)-f(y_\delta)|$ per tali $x_\delta$ e $y_\delta$. Il valore per cui vale la minorazione viene esibito come $\epsilon$.
Assorbito per bene tutto questo, prova a vedere che succede col suggerimento che ti ho dato.
Vorrei che mi aiutassi a capire la dimostrazione del mio libro:
$ f(x)=x^2,x in R $, di conseguenza:
$ \delta <= \varepsilon/(2|x|) $ $ rarr $ inf \( \delta (\varepsilon ,x) \) $rarr$ $ \varepsilon/(2|x|)=0 $
Se $x in[a,b]$:
$MAX{|a|,|b|}=M$
$rArr$ inf$ \varepsilon/(2|x|)=\varepsilon/(2M)=\delta(\varepsilon)$
Non capisco questo tipo di dimostrazione , potresti aiutarmi?
$ f(x)=x^2,x in R $, di conseguenza:
$ \delta <= \varepsilon/(2|x|) $ $ rarr $ inf \( \delta (\varepsilon ,x) \) $rarr$ $ \varepsilon/(2|x|)=0 $
Se $x in[a,b]$:
$MAX{|a|,|b|}=M$
$rArr$ inf$ \varepsilon/(2|x|)=\varepsilon/(2M)=\delta(\varepsilon)$
Non capisco questo tipo di dimostrazione , potresti aiutarmi?
La prima parte viene dal fatto seguente: si dimostra che l'uniforme continuità di una funzione $f:A \to \mathbb{R}$ è equivalente a dimostrare che per ogni $\epsilon>0$ l'insieme $B_\epsilon=\{\delta(\varepsilon,x) \ \text{t.c.} \ x \in A\}$ ha un minorante positivo, ossia $\text{inf}_{x \in A} \ B_\epsilon>0$. Quindi, avendo dimostrato che per almeno un $\epsilon$ e almeno una funzione $\delta(\varepsilon,x)$ per $x^2$ quell'estremo inferiore è $0$ su $\mathbb{R}$, la funzione $x^2$ non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$. Secondo me, per questo caso specifico è un approccio leggermente complicato. Che libro è?
La seconda parte, quella per $x \in [a,b]$, è la dimostrazione che $x^2$ è continua nel compatto $[a,b]$ sempre usando l'equivalenza sopraccitata.
La seconda parte, quella per $x \in [a,b]$, è la dimostrazione che $x^2$ è continua nel compatto $[a,b]$ sempre usando l'equivalenza sopraccitata.
Il libro è del nostro professore , comunque grazie mille Mephlip!!!
Prego! Allora suppongo che l'abbia dimostrata nel libro quell'equivalenza. Comunque, i punti che ti dicevo prima rendono vera la negazione con $\epsilon=1$. Hai che per $\delta>0$ arbitrario, risultano $x_\delta,y_\delta \in [0,+\infty)$ e si hanno:
$$|x_\delta-y_\delta|=\left|\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\delta}\right|=\left|\frac{\delta}{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta$$
E:
$$|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=\left|\left(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2-\frac{1}{\delta^2}\right|=\left|\frac{\delta^2}{4}+\frac{1}{\delta^2}+1-\frac{1}{\delta^2}\right|=\left|\frac{\delta^2}{4}+1\right|=\frac{\delta^2}{4}+1>1$$
Perciò, $f(x)=x^2$ non è uniformemente continua su $[0,+\infty)$. Considerando gli opposti di $x_\delta$ e $y_\delta$, si ottiene la stessa cosa su $(-\infty,0]$ e l'uniforme continuità si estende ad un'unione finita di intervalli.
$$|x_\delta-y_\delta|=\left|\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\delta}\right|=\left|\frac{\delta}{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta$$
E:
$$|f(x_\delta)-f(y_\delta)|=\left|\left(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2-\frac{1}{\delta^2}\right|=\left|\frac{\delta^2}{4}+\frac{1}{\delta^2}+1-\frac{1}{\delta^2}\right|=\left|\frac{\delta^2}{4}+1\right|=\frac{\delta^2}{4}+1>1$$
Perciò, $f(x)=x^2$ non è uniformemente continua su $[0,+\infty)$. Considerando gli opposti di $x_\delta$ e $y_\delta$, si ottiene la stessa cosa su $(-\infty,0]$ e l'uniforme continuità si estende ad un'unione finita di intervalli.
Un'ultima cosa Mephlip , se ho appunto il mio estremo inferiore =0 , la mia f non è U.C., ma con quale calcolo viene fuori 0?Ovviamente dalla formula che ho scritto prima io intendo.
Cioè quando faccio il lim per x che tende a infinito ?
Sì, ma solamente perché tacitamente usi una proprietà di monotonia. Nota che per ogni $\varepsilon>0$ fissato, la funzione $\delta(\varepsilon,x)=\frac{\epsilon}{2|x|}$ è pari come funzione di $x$; perciò, ci restringiamo in $(0,+\infty)$. Dato che per ogni $\epsilon>0$ fissato la funzione $\delta(\varepsilon,x)$ è una funzione decrescente di $x$ in $(0,+\infty)$, dai teoremi sui limiti di funzioni monotòne segue:
$$\inf_{x \in (0,+\infty)} \frac{\epsilon}{2x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{\epsilon}{2x}=0$$
Ma volendo anche direttamente dalla definizione, visto che è velocissimo. Dato che per ogni $\varepsilon>0$ fissato è $\frac{\epsilon}{2|x|}>0$, segue che $0$ è un minorante di $\{\frac{\epsilon}{2|x|} \ \text{t.c.} \ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\}$. Inoltre, per ogni $\epsilon>0$ fissato, sia $\sigma>0$ arbitrario. Posto $x_\sigma:=\frac{\epsilon}{\sigma}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ risulta $\frac{\epsilon}{2|x_\sigma|}=\frac{\sigma}{2}<\sigma$. Quindi, $0$ è il massimo dei minoranti di $\{\frac{\epsilon}{2|x|} \ \text{t.c.} \ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\}$. Ossia, per ogni $\epsilon>0$ si ha $\text{inf}_{x \in \mathbb{R}} \frac{\epsilon}{2|x|}=0$.
$$\inf_{x \in (0,+\infty)} \frac{\epsilon}{2x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{\epsilon}{2x}=0$$
Ma volendo anche direttamente dalla definizione, visto che è velocissimo. Dato che per ogni $\varepsilon>0$ fissato è $\frac{\epsilon}{2|x|}>0$, segue che $0$ è un minorante di $\{\frac{\epsilon}{2|x|} \ \text{t.c.} \ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\}$. Inoltre, per ogni $\epsilon>0$ fissato, sia $\sigma>0$ arbitrario. Posto $x_\sigma:=\frac{\epsilon}{\sigma}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ risulta $\frac{\epsilon}{2|x_\sigma|}=\frac{\sigma}{2}<\sigma$. Quindi, $0$ è il massimo dei minoranti di $\{\frac{\epsilon}{2|x|} \ \text{t.c.} \ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\}$. Ossia, per ogni $\epsilon>0$ si ha $\text{inf}_{x \in \mathbb{R}} \frac{\epsilon}{2|x|}=0$.
Grazie mille Mephlip 
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